mình chưa biết gõ nên thông cảm
C/m [TEX](1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})\geq \frac{729}{512}[/TEX]
trong đó a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c=6
Bài này hình như là cái bài mà lực luợng boy bó tay trong trận chiến boy and girl năm ngoái !
Ta có
[TEX](1+\frac{1}{a^3})(1+\frac{1}{b^3})(1+\frac{1}{c^3})[/TEX]
[TEX]= ({1 + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^3b^3})(1 + \frac{1}{c^3})[/TEX]
[TEX]= 1 + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1}{a^3b^3} + \frac{1}{b^3c^3} + \frac{1}{a^3c^3} + \frac{1}{a^3b^3c^3}[/TEX]
Áp dụng BĐT AM - GM
Ta có !
[TEX]\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{a^3.b^3.c^3}}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{a^3b^3} + \frac{1}{b^3c^3} + \frac{1}{a^3c^3} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^6}}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]1 + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1}{a^3b^3} + \frac{1}{b^3c^3} + \frac{1}{a^3c^3} + \frac{1}{a^3b^3c^3} \geq 1 + \frac{3}{abc} + \frac{1}{(abc)^2} + \frac{1}{(a +b+c)^3}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]1 + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1}{a^3b^3} + \frac{1}{b^3c^3} + \frac{1}{a^3c^3} + \frac{1}{a^3b^3c^3} \geq (1 + \frac{1}{abc})^3[/TEX] _____(1)
Nhớ mang máng cái BDT
[TEX](a +b+c)^3 \geq a^3 + b^3 + c^3 + 24abc[/TEX]
Áp dụng BDT AM - GM
Mà [TEX]a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a +b +c)^3 \geq 27abc[/TEX]
\Rightarrow [TEX] 6^3 \geq 27abc[/TEX]
\Rightarrow [TEX]abc \leq 8[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{abc} \geq \frac{1}{8}[/TEX] ______(2)
Áp dụng (1) và (2)
[TEX]1 + \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} + \frac{1}{a^3b^3} + \frac{1}{b^3c^3} + \frac{1}{a^3c^3} + \frac{1}{a^3b^3c^3} \geq ( 1 + \frac{1}{abc})^3 \geq ( 1 + \frac{1}{8})^3 = \frac{729}{512}[/TEX] (đpcm)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn