[Toán 8] BĐT trong đề kiểm tra

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với $a,b,c > 0$. CMR:
\[\dfrac{1}{{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{a}}} \leq \dfrac{{a + b + c}}{2}\]

 

[nguyenbahiep1]

[laTEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } \leq \frac{a+b}{4}[/laTEX]

làm tượng tự và cộng 3 vế tương ứng ra được đáp án

dấu = xảy ra

a=b=c

 

[hoangngocbao_1997]

Ta áp dụng bdt quen thuộc sau: với x,y không âm:
[tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex]
Áp dụng ta được:
[tex]\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \frac{1}{\frac{4}{a+b}}=\frac{a+b}{4}[/tex]
[tex]\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\leq \frac{1}{\frac{4}{b+c}}=\frac{b+c}{4}[/tex]
[tex]\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\leq \frac{1}{\frac{4}{c+a}}=\frac{c+a}{4}[/tex]
Cộng các vế của 3 bdt trên,ta được:
[tex]\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}\leq \frac{2(a+b+c)}{4}=\frac{a+b+c}{2}[/tex]

 

[thong7enghiaha]

[laTEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \\ \\ \Rightarrow \frac{1}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } \leq \frac{a+b}{4}[/laTEX]

làm tượng tự và cộng 3 vế tương ứng ra được đáp án

dấu = xảy ra

a=b=c

Anh hiệp ơi, anh giải thích xem cái chỗ này tại sao $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} $\geq$ \frac{4}{a+b}$ được không ,em không hiểu???

 

[nguyenbahiep1]

Anh hiệp ơi, anh giải thích xem cái chỗ này tại sao$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} $\geq$ \frac{4}{a+b}$ được không ,em không hiểu???

[laTEX](a+b)^2 \geq 4ab \Leftrightarrow a+ b \geq \frac{4ab}{a+b} \\ \\ \Rightarrow \frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b} \Rightarrow \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}[/laTEX]