[Toán 8] BĐT tam giác

[lmqcustom]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX].Tatada.

 

[quangltm]

[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]
Đầu bài là gì bạn.

 

[thaiha_98]

[TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX].Tatada.

Chứng minh bất đẳng thức:[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX] với x,y>0
Xét hiệu :
[TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{4}{x+y}[/TEX]
[TEX]= \frac{y( x+y) + x (x+y) - 4xy}{xy(x+y)}[/TEX]
[TEX]= \frac{x^2 - 2xy + y^2}{xy(x+y)}[/TEX]
[TEX]= \frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0 [/TEX] ( vì x,y > 0)
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y
Xét [TEX]\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a}[/TEX], áp dụng bất đẳng thức [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}[/TEX], ta được:
[TEX]\frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}=\frac{2}{b}[/TEX] (1)
Tương tự:
[TEX]\frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b}\geq \frac{2}{c}[/TEX] (2)
[TEX]\frac{1}{c+a-b} + \frac{1}{a+b-c}\geq \frac{2}{a}[/TEX] (3)
Từ (1), (2) và (3) \Rightarrow [TEX]\frac{2}{a+b-c}+\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{a+c-b} \geq \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{a}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX] (đpcm)
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a=b=c