[Toán 8] BĐT khó

[gaconkudo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và [TEX]p=\frac{a+b+c}{2}[/TEX]
CMR [TEX]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \geq 2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

 

[transformers123]

Dễ thấy $2p=a+b+c$ và $p-a > 0,\ p-b > 0;\ p-c > 0$

Ta có:

$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{2p-a-b}$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{a+b+c-a-b}$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{c}$

$\mathfrak{CMTT}$, ta có: $\dfrac{1}{p-b} + \dfrac{1}{p-c} \ge \dfrac{4}{a},\ \dfrac{1}{p-c} + \dfrac{1}{p-a} \ge \dfrac{4}{b}$

Cộng tất cả các bất đẳng thức cùng chiều, ta có:

$2(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}) \ge 4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

[transformers123]

Dễ thấy $2p=a+b+c$ và $p-a > 0,\ p-b > 0;\ p-c > 0$

Ta có:

$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{2p-a-b}$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{a+b+c-a-b}$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{c}$

$\mathfrak{CMTT}$, ta có: $\dfrac{1}{p-b} + \dfrac{1}{p-c} \ge \dfrac{4}{a},\ \dfrac{1}{p-c} + \dfrac{1}{p-a} \ge \dfrac{4}{b}$

Cộng tất cả các bất đẳng thức cùng chiều, ta có:

$2(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}) \ge 4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

$\iff \dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

Quên mất không tìm dấu "=" cho bạn =))

Dấu "=" xảy ra khi $begin{cases}p-a=p-b\\p-b=p-c\\p-c=p-a\end{cases} \iff a=b=c \iff \Delta$ đều