[Toán 8]BĐT cơ bản lớp 8

[hocmaitoanhoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a \ge b \ge c[/TEX]

[TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3[/TEX]

CMR:

[TEX]\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 2} + \frac{1}{c + 2} \le 1[/TEX]
@minhtuyb-Chú ý:[Toán 8]+tiêu đề

 

[braga]

Mình nghĩ cái cuối của VT phải là C+2 chứ nhỉ !!


Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

[TEX]a(c+2)(a+2)+b(a+2)(b+2)+c(b+2)(c+2)\le (a+2)(b+2)(c+2)[/TEX]
​

[TEX]\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc[/TEX].
​

Từ giả thiết của bài toán, ta có [TEX]a(b-c)(a-b)\geq 0[/TEX]. Nên [TEX]{a}^{2}b-a{b}^{2}-{a}^{2}c+abc\geq 0[/TEX], tương đương với [TEX]{a}^{2}b+abc\geq a{b}^{2}+{a}^{2}c[/TEX].

Sử dụng bất đẳng thức này ta quy bài toán về chứng minh [TEX]2-{a}^{2}b\geq {c}^{2}b[/TEX]

hay là [TEX]2\geq b(3-{b}^{2})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow {b}^{3}-3b+2\geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow {(b-1)}^{2}(b+2)\geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]\fbox{(a,b,c)\in \{(1,1,1);(\sqrt{2},1,0)\}}[/TEX]

 

[hocmaitoanhoc]

Mình nghĩ cái cuối của VT phải là C+2 chứ nhỉ !!


Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

[TEX]a(c+2)(a+2)+b(a+2)(b+2)+c(b+2)(c+2)\le (a+2)(b+2)(c+2)[/TEX]
​

[TEX]\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc[/TEX].
​

Từ giả thiết của bài toán, ta có [TEX]a(b-c)(a-b)\geq 0[/TEX]. Nên [TEX]{a}^{2}b-a{b}^{2}-{a}^{2}c+abc\geq 0[/TEX], tương đương với [TEX]{a}^{2}b+abc\geq a{b}^{2}+{a}^{2}c[/TEX].

Sử dụng bất đẳng thức này ta quy bài toán về chứng minh [TEX]2-{a}^{2}b\geq {c}^{2}b[/TEX]

hay là [TEX]2\geq b(3-{b}^{2})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow {b}^{3}-3b+2\geq 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow {(b-1)}^{2}(b+2)\geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi [TEX]\fbox{(a,b,c)\in \{(1,1,1);(\sqrt{2},1,0)\}}[/TEX]

Ối chết, ghi lộn, sr braga nha ///.............................