toán 8 (bất đẳng thức)

[Lưu Thị Thu Kiều]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a. Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh: 2a^3+2b^3+2c^3 < 3+ a^2b +b^2c +c^2a
b. Cho a, b, c dương thỏa mãn: a^2+b^2+c^2=5/3. Chứng minh rằng: 1/a +1/b +1/c < 1/abc

 

[machung25112003]

b. Cho a, b, c dương thỏa mãn: a^2+b^2+c^2=5/3. Chứng minh rằng: 1/a +1/b +1/c < 1/abc

Ta có:
(a - b)^2 >= 0
(c - b)^2 >= 0
(b - a)^2 >= 0
<=> (a - b)^2 + (c - b)^2 + (b - a)^2 >= 0 (dấu "=" xảy ra khi a = b = c)
<=> a^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2bc + b^2 + b^2 - 2ac +c^2 >= 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac >= 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac (1)
Có: a^2+b^2+c^2 = 5/3 < 2 (2)
Từ (1) và (2), ta có:
2ab + 2bc + 2ac < 2
=> ab + bc + ac < 1
Vì a, b, c dương nên chia cả 2 vế cho 2abc, ta có:
(ab + bc + ac)/abc < 1/abc
=> (ab + bc + ac)/abc < 1/abc
=> ab/abc + bc/abc + ac/abc < 1/abc
=> 1/a +1/b +1/c < 1/abc

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

a. Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh: 2a^3+2b^3+2c^3 < 3+ a^2b +b^2c +c^2a

$0<a,b,c<1\Rightarrow (1-a^2)(1-b)+(1-b^2)(1-c)+(1-c^2)(1-a)>0$
$\Leftrightarrow 1-b-a^2+a^2b+1-c-b^2+b^2c+1-a-c^2+c^2a>0$
$\Leftrightarrow 3+a^2b+b^2c+c^2a> a^2+b^2+c^2+a+b+c(1)$
Lại có: $a^2(1-a)+b^2(1-b)+c^2(1-c)+a(1-a^2)+b(1-b^2)+c(1-c^2)>0$ (do $0<a,b,c<1$)
$\Leftrightarrow a^2-a^3+b^2-b^3+c^2-c^3+a-a^3+b-b^3+c-c^3>0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+a+b+c>2a^3+2b^3+2c^3(2)$
Từ (1) và (2) => đpcm