[Toán 8] Bất đẳng thức

[longnight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh rằng: (x - 1)(x 3)(x - 4)(x - 6) + 9 > 0

2. Chứng minh rằng: 4a(a + b)(a + 1)(a + b + 1) + [tex]b^2[/tex] ≥ 0

3. Chứng minh rằng: [tex]x^8 - x^5 + x^2 - x + 1[/tex] > 0

4. Cho: a + b + c = 6. Chứng minh rằng [tex]a^2 + b^2 + c^2[/tex] ≥ 12

 

[chaugiang81]

bài 1

$(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) +9$
$=(x-1)(x-6)(x-3)(x-4) +9$
$=(x^2 - 7x + 6)(x^2 -7x +12) +9$ (1)
đặt $x^2 -7x +9 $ =a, ta có :
(1)= (a-3)(a+3) +9 = a^2 -9 +9= a^2 \geq0 (dpcm)

 

[lp_qt]

Câu 4

Ta có:

$$3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2 \iff 3(a^2+b^2+c^2) \ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \iff 2a^2+2b^2+2c^2 -2ab-2ac-2bc \ge 0 \iff (a^2+b^2-2ab)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ca+c^2) \ge 0 \iff (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$$ (lđ)

$\Longrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 12$

Ta có đpcm.

 

[phamhuy20011801]

4, $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca\\
\leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+a^2+b^2+c^2 \ge 2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2\\
\leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2\\
\leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2) \ge 6^2=36\\
\leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 12$

$3,$ Xét $x \ge 1$ thì $x^8-x^5+x^2-x+1=x^5(x^3-1)+x(x-1)+1 > 0$
Xét $x<1$ thì $x^8-x^5+x^2-x+1=x^8+x^2(1-x^3)+1-x > 0$

 

[lp_qt]

$$x^8 - x^5 + x^2 - x + 1 > 0 \iff \left (x^8-2.x^4.\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{4} \right )+\dfrac{3x^2}{4} -x+1 >0 \iff \left ( x^4-\dfrac{x}{2} \right )^2+\dfrac{3}{4}\left ( x^2-2.\dfrac{2}{3}.x+\dfrac{4}{9} \right )+\dfrac{2}{3} >0
\iff \left ( x^4-\dfrac{x}{2} \right )^2+\dfrac{3}{4}\left ( x-\dfrac{2}{3} \right )^2+\dfrac{2}{3} >0$$ (lđ)