[Toán 8] Bất đẳng thức

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhân dịp gần thi học kỳ, anh tặng cho mấy em lớp 8 một bài bất đẳng thức hay. (Lý do nhảm thật =)))
Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}\right)} \ge 1+\sqrt{1+\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}} $$

(Vasile Cirtoaje)​

 

[manhnguyen0164]

Bài khó thế này anh đăng ở Toán 8 thì chớt :v Tự dưng thấy giống trong quyển sách của sư huynh truyền lại.

BĐT viết lại thành:
$$\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)} \ge \sqrt{abc}+\sqrt{abc+\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}}$$

Bất đẳng thức thuần nhất, giả sử $ab+bc+ca=1, a+b+c=p, abc=r$. Ta có:

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=p^2-2$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=1-2pr$

Khi đó cần chứng minh:

$\sqrt{p} \ge \sqrt{r}+ \sqrt{r+\sqrt{(p^2-2)(1-2pr)}}$

$\iff \sqrt{p}-\sqrt{r} \ge \sqrt{r+\sqrt{(p^2-2)(1-2pr)}}$

$\iff p+r-2\sqrt{pr} \ge r+\sqrt{(p^2-2)(1-2pr)}$

$\iff p-2\sqrt{pr} \ge \sqrt{(p^2-2)(1-2pr)}$

$\iff p^2-4p\sqrt{pr}+4pr \ge p^2-2+4pr-2p^3r$

$\iff 2(p\sqrt{pr}-1)^2 \ge 0$ (luôn đúng) $\to \mathfrak{DPCM}$

Đẳng thức $\iff abc(a+b+c)^3=(ab+bc+ca)^3 \iff (a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)=0$

 

[huynhbachkhoa23]

Đầu tiên ta làm cho bất đẳng thức xuất hiện $a^2,b^2,c^2,\dfrac{1}{a^2},\dfrac{1}{b^2},\dfrac{1}{c^2}$
$$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\sqrt{\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right]\left[\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2 \left( \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \right) \right]}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right) \ge \sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}+2\sqrt{\left(ab+bc+ca \right) \left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \right)}\\
=\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left( \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)}+2\sqrt{\left(a+b+c \right) \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)}$$
Đây chính là bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a^2=bc$ hoặc $b^2=ca$ hoặc $c^2=ab$