[Toán 8]bất đẳng thức

[tiendung_1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.$\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a}$ \leq $3(a^2+b^2+c^2)$ với a,b,c \geq 0 và a+b+c=1
2.$a+b$ \geq $16abc$ với a,b,c \geq 0 a+b+c=1

Chú ý tiêu đề :[Toán 8]+nội dung

 

[0973573959thuy]

Chúc bạn học tốt!

Bài 1 : Bài này mình làm chắc sai mất

Sai thì thông cảm nha!

Nếu mình làm sai, mod đừng xn kẻo mình bị trừ điểm học tập nhá!

Ta có : $\dfrac{a^2}{b} + 3a^2 = \dfrac{a^2 + 3a^2b}{b}$ \leq $\dfrac{6a^2b}{b} = 6a^2$ (1)
Thật vậy : $\dfrac{a^2 + 3a^2b}{b}$ \leq $\dfrac{6a^2b}{b} \leftrightarrow a^2 + 3a^2b$ \leq $6a^2b \leftrightarrow a^2 + 3a^2b - 6a^2 = a^2(1 + 3b - 6) = a^2(a + b + c + 3b - 6)$ \leq 0 $\leftrightarrow a + 4b + c - 6$ \leq 0 (vì $a^2$ \geq 0) $\leftrightarrow a + 4b + c$ \leq $6(a + b + c)$ (luôn đúng)

Tương tự ta cũng có :

$\dfrac{b^2}{c} + 3b^2$ \leq $6b^2$ (2)

$\dfrac{c^2}{a} + 3c^2$ \leq $6c^2$ (3)

Cộng theo từng vế 3 BĐT (1); (2); (3) được :

$\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} + 3a^2 + 3b^2 + 3c^2$ \leq $
6a^2 + 6b^2 + 6c^2$

$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a}$ \leq $3a^2 + 3b^2 + 3c^2 (dpcm) $

 

[0973573959thuy]

Bài 2:

a + b \geq 16abc \Leftrightarrow a + b \geq 16ab(1 - a - b) = 16ab - $16a^2b - 16ab^2$ \Leftrightarrow a + b + $16a^2b + 16ab^2$ \geq 16abc (Luôn đúng theo Cauchy bộ 4 số ko âm)

\Rightarrow Q.E.D