[Toán 8]Bất đẳng thức

[coganghoctapthatgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c dương [tex]a+b+c=1 [/tex]
CMR [tex](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64[/tex]

 

[minh_minh1996]

có nhiều cách làm bài này.................................................. !

( 1 + 1/a)( 1 + 1/b)(1 + 1/c) ≥ 64
<=> (a + 1)(b+1)(c+1)/abc ≥ 64
<=> (a+1)(b+1)(c+1) ≥ 64abc
<=> (a + a + b + c)(b +a + b + c)(c + a + b+ c ) ≥ 64abc
Áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 4 số
a + a + b + c ≥ 4 căn 4(a²bc)
b + b + a + c ≥ 4 căn 4(ab²c)
c + c + a + b ≥ 4 căn 4(abc²)
Nhân lại

<=> (a + a + b + c)(b +a + b + c)(c + a + b+ c ) ≥ 64 căn 4 (a^4b^4c^4)
<=> (a + a + b + c)(b +a + b + c)(c + a + b+ c ) ≥ 64abc ( DPCM )

ta có
a+1=a+a+b+c>= 4căn4 a^2bc
b+1=b+..........>=.........ab^2c
c+1=c...........>=..........abc^2

=> (a+1)(b+1)(c+1)/abc>= 64abc/abc ( nhân cho 1/abc)
=>(a+1)(b+1)(c+1)/abc >= 64 ( đccm)