[toán 8 ]Bất đẳng thức khó

[kimanh1501.hy@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu1 : Cho a, b,c là 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng :
$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} < 2$

Câu 2 Chứng minh rằng với a,b,c >0
1. $\dfrac{a^2}{b^2}+ \dfrac{b^2}{a^2} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$
2. $\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \ge a+b+c$
3. $\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{c+a} + \dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}$

Chú ý Latex

 

[phamvananh9]

[TEX][/TEX]
Câu 1:
Vì a,b ,c là 3 cạnh của tam giác => Mỗi phân thức đều nhỏ hơn 1.

$\frac{a}{b+c} < \frac{2a}{a+b+c}$

$\frac{b}{a+c} < \frac{2b}{a+b+c}$

$\frac{c}{a+b} < \frac{2c}{a+b+c}$

Cộng các vế với nhau => đpcm

Câu 2:

1. Cộng thêm 1 vào từng phân thức ở VT, Cô-si 2 lần sẽ ra.

2. Cộng thêm : a+b+c vào VT, dùng Cô-si là ra.

3. Cộng thêm vào VT: $\frac{a+b}{4} + \frac{b+c}{4} + \frac{a+c}{4}$.
Sau đó dùng Cô-si là ra.

 

[chaudoublelift]

Giải

Câu 1:
Làm như của bạn phamvananh9 thế là ổn rồi. Tớ ko có ý kiến thêm.
Câu 2:
Phần 1 và phần 2, mình đã giải ở đây, sao mà hỏi lắm thế nhỉ, có mỗi 2 phần mà hỏi mấy lần liền.http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=428977
Phần 3: Với $a,b,c>0⇒\dfrac{a^2}{b+c}>0;\dfrac{b^2}{a+c}>0; \dfrac{c^2}{b+a}>0$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz(mà mình đã chứng minh) cho 3 số $\dfrac{a^2}{b+c};\dfrac{b^2}{a+c};\dfrac{c^2}{b+a}$ dương, ta được:
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{b+a}≥\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{a+b+c}{2}$(đpcm)