[Toán 8]Bất đẳng thức khó

[young_wolf]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x^2+y^2+z^2=1$.Tìm Min,Max của $P=x+y+z+xy+yz+xz$

 

[harrypham]

Áp dụng hằng [TEX](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy+yz+zx= \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}= \frac{(x+y+z)^2-1}{2}[/TEX].
Thay vào ta có
[TEX]P= \frac{(x+y+z)^2+2(x+y+z)+1-2}{2}= \frac{(x+y+z+1)^2}{2}-1 \ge -1[/TEX].
Vậy [TEX]\min P= -1 [/TEX] khi và chỉ khi [TEX]\left \{ \begin{array} x+y+z=-1 \\ x^2+y^2+z^2=1 \end{array} \right.[/TEX]. Dấu = thế này đã đúng chưa nhỉ.

 

[young_wolf]

Áp dụng hằng [TEX](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow xy+yz+zx= \frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}= \frac{(x+y+z)^2-1}{2}[/TEX].
Thay vào ta có
[TEX]P= \frac{(x+y+z)^2+2(x+y+z)+1-2}{2}= \frac{(x+y+z+1)^2}{2}-1 \ge -1[/TEX].
Vậy [TEX]\min P= -1 [/TEX] khi và chỉ khi [TEX]\left \{ \begin{array} x+y+z=-1 \\ x^2+y^2+z^2=1 \end{array} \right.[/TEX]. Dấu = thế này đã đúng chưa nhỉ.

Còn Max nữa bạn
Với lại dấu = mình nghĩ phải tìm được x,y,z chứ chứ nhỉ

 

[truongduong9083]

Bạn chú ý
$x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} = \sqrt{3}$
$xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2 = 1$

 

[young_wolf]

Bạn chú ý
$x+y+z \leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} = \sqrt{3}$
$xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2 = 1$

Anh chứng minh giúp em cái bất đẳng thức đầu đi ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 

[huytrandinh]

xét hai th
nếu x+y+z nhỏ hơn không bất đẳng thức hiển nhiên đúng
x+y=z dương bình phương lên ta đưa nó về bài toán số hai