[Toán 8] Bất đẳng thức hình học

[nguyenthokhang98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác MAB vuông tại M, đường cao MK. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Kẻ OI vuông góc AB, OI = 1
Chứng minh rằng [TEX]\frac{1}{MK+2MA}+\frac{1}{MA+2MB}+\frac{1}{MB+2MK}<\frac{1}{3}[/TEX]

 

[daovuquang]

Hình vẽ:

Nhận xét: $2S_{MAB}=OI.(MA+MB+AB)=MK.AB$
$\Rightarrow MA+MB+AB=MK.AB (1).$
Lại có $MA.MB=MK.AB\Rightarrow AB=\dfrac{MA.MB}{MK}.$
Đặt $MA=a; MB=b; MK=c$.
Lúc đó $(1)\Leftrightarrow a+b+\dfrac{ab}{c}=c.\dfrac{ab}{c}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1.$
Áp dụng Cauchy-Schwarz: $\dfrac{9}{a+2b}\leq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}.$
Tương tự, $\dfrac{9}{b+2c}\leq \dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}$ và $\dfrac{9}{c+2a}\leq \dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}$
$\Rightarrow 9.VT\leq 3(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=3$
$\Leftrightarrow VT\leq \dfrac{1}{3}.$
Nhưng dấu bằng không xảy ra $\Rightarrow VT<\dfrac{1}{3}\Rightarrow$ đpcm.