[Toán 8] Bất đẳng thức Bu-nhi-a

[vuasanban]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Cho a,b,c dương, ab+bc+ca=3
CM : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}$ + $\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}$ + $\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}$ \leq 1
Bài 2
Cho a,b,c dương, abc=1
CM : $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}$ + $\frac{1}{b^{3}+c^{3}+1}$ + $\frac{1}{c^{3}+a^{3}+1}$ \leq 1
Bài 3
Cho a,b,c dương, a+b+c \leq 3
CM : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ + $\frac{2009}{ab+bc+ca}$ \geq 670
Bài 4
Cho a,b,c dương, $x^{2}$+$y^{2}$+$z^{2}$=3
CM : $\frac{1}{1+xy}$ + $\frac{1}{1+yz}$+$\frac{1}{1+zx}$ \geq $\frac{3}{2}$

 

[naruto2001]

bài 2

ta có a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) \geq ab(a+b)
a3 + b3 + 1 \geq ab(a+b+c)
tương tự xong cộng vế với vế đpcm

 

[thanhlan9]

Bài 36
Ta có VT=[TEX]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2007}{ab+bc+ca} \geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{2007}{ab+bc+ca}[/TEX]
Sử dụng thêm bdt [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX] ta đc [TEX]VT \geq 670[/TEX]
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

 

[soccan]

Bài $4$
áp dụng $Cauchy-Shwarz$
$VT \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{1+1+1+xy+yz+zx} \ge \dfrac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\dfrac{3}{2}$

 

[thanhlan9]

Bài 4
Ta có [TEX]VT \geq \frac{9}{xy+yz+zx+3}[/TEX]
Áp dụng bdt [TEX]xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2 \Rightarrow VT \geq 3/2[/TEX]
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. $VT=\sum \dfrac{c^2+2}{(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)}\le\sum \dfrac{c^2+2}{(a+b+c)^2}=1$

 

[phamhuy20011801]

B4

Thấy $(xy+1+yz+1+xz+1)(\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+ \frac{1}{xz+1}) \ge 9 $ (CM được nhờ BĐT Cô-si)
$\longleftrightarrow \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{xz+1} \ge \frac{9}{xy+yz+xz+3} \ge \frac{9}{x^2+y^2+z^2+3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

 

[vuasanban]

ta có a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) \geq ab(a+b)
a3 + b3 + 1 \geq ab(a+b+c)
tương tự xong cộng vế với vế đpcm

Sao (a+b)(a²-ab+b²) \geq ab(a+b)
Làm ntn vậy bn
Giải thích rõ cho mình với

 

[phamhuy20011801]

Sao (a+b)(a²-ab+b²) \geq ab(a+b)
Làm ntn vậy bn
Giải thích rõ cho mình với

$(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge ab(a+b)$
$\longrightarrow a^2-ab+b^2 \ge ab$ (chia cả 2 vế cho a+b do a,b dương)
$\longleftrightarrow a^2-2ab+b^2 \ge 0$
$\longleftrightarrow (a-b)^2 \ge 0$ (đúng)

 

[eye_smile]

Do $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \ge 0$

nên $a^2-ab+b^2 \ge ab$

\Rightarrow $(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge ab(a+b)$

 

[vuasanban]

Vậy sao a³+b³+1 \geq ab(a+b+c) ạ?????, làm phiền mn chút, chứ bđt em kém

 

[eye_smile]

ĐK chắc là abc=1 phải k

Có $a^3+b^3 \ge ab(a+b)$

\Rightarrow $a^3+b^3+1 \ge ab(a+b)+1=ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$