[Toán 8]Bài toán thi cấp Quận Lê Chân. Hải Phòng.

[coibatkhuat_hp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, b, c là các số dương (a , b , c >0 )
CMR [TEX]\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{b} + \frac{1}{c}} + \frac{1}{\frac{1}{c} + \frac{1}{a}} \leq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Có thể sử dụng BĐT cô si nhé! >-.
Tks các bạn trước nhé. :khi (162):.
P/s: Các bạn giải thì nhớ giải thích rõ hộ mình nhé. :khi (181)::khi (114):

 

[minhtuyb]

BĐT cần cm tương đương:
[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
-Áp dụng BĐT phụ với x,y>0: [TEX]\frac{xy}{x+y}\leq \frac{x+y}{4}\Leftrightarrow (x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0[/TEX](Luôn đúng), ta có:
[TEX]\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq \frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{2(a+b+c)}{4}=\frac{a+b+c}{2}<DPCM>[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c[/TEX]
-Bài này điều kiện dương có phải hơi thừa không nhỉ :-?

P/s:

Có chứ a. Cái đoạn từ CM tương đương xuống. Em ko hiểu

Giải thích thêm :
[tex]\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{1}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{ab}{a+b}[/tex]
Vậy nên có phép tương đương đó, em hiểu chưa nhỉ

 

[niemkieuloveahbu]

Áp dụng C-S:

[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\\ \Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \frac{1}{\frac{4}{a+b}}=\frac{a+b}{4}\\ \Rightarrow \sum \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sum\frac{a+b}{4}\Rightarrow dpcm\\"=" \Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

Bất đẳng thức Nes-bit nhỉ,:-?

P/S: Bé này ở Hải Phòng à,)