[Toán 8] Bài tập về 2 số nguyên tố cùng nhau

[thienthannho2428]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho n nguyên dương.Chứng minh rằng n! + 1 và (n+1)! + 1 nguyên tố cùng nhau.
Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , các phân số sau là tối giản
(a) [TEX]\frac{15n^2 + 8n + 6}{30n^2 + 21n +13}[/TEX]
(b)[TEX]\frac{n^3 + 2n}{n^4 + 3n^2 +1}[/TEX]

 

[thaolovely1412]

Bài 2:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , các phân số sau là tối giản
(a) [TEX]\frac{15n^2 + 8n + 6}{30n^2 + 21n +13}[/TEX]
gọi a là ƯCLN của $6 + 8n + 15n^2$ và $13 + 21n + 30n^2$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}6 + 8n + 15n^2 \vdots a\\ 13 + 21n + 30n^2 \vdots a \end{matrix}\right.$
ta có:
$6 + 8n + 15n^2 \vdots a$
$\rightarrow 12 + 16n + 30n^2 \vdots a$
vì $ 13 +21n + 30n^2 \vdots a$
$\rightarrow 5n + 1 \vdots a$
$\rightarrow 15n^2 + 3n \vdots a$
$\rightarrow 15n^2 + 8n + 6 - 15n^2 - 3n = 5n + 6 \vdots a$
$\rightarrow 5 \vdots a$
$5n + 6 = 5(n +1) + 1 \vdots a$
$\rightarrow 1 \vdots a$

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1:

Gọi $(n!+1;(n+1)!+1)=d$

$\rightarrow n!+1 \vdots d \rightarrow (n+1)!+n+1 \vdots d$

Mà $(n+1)!+1 \vdots d \rightarrow n \vdots d \rightarrow n! \vdots d$

Mà $n!+1 \vdots d \rightarrow 1 \vdots d \rightarrow d=1$

Vậy $n!+1$ và $(n+1)!+1$ nguyên tố cùng nhau

Bài 2:

a) Gọi $(15n^2+8n+6;30n^2+21n+13)=d$

$\rightarrow 30n^2+16n+12 \vdots d$

Mà $30n^2+21n+13 \vdots d \rightarrow 5n+1 \vdots d$

Lại có $15n^2+8n+6=15n^2+3n+5n+1+5=(5n+1)(3n+1) +5 \vdots d$

$\rightarrow 5\vdots d$

Vì vậy $d \in \{ 5;1 \}$

Xét d=5 thì $5n+1 \vdots 5 \rightarrow $ vô lí

$\rightarrow d=1$

Vậy phân số trên tối giản

b) Gọi $(n^3+2n;n^4+3n^2+1)=d$

$\rightarrow n^4+2n^2 \vdots d$

Mà $n^4+3n^2+1 \vdots d \rightarrow n^2+1 \vdots d \rightarrow n^3+n
\vdots d$

Mà $n^3+2n \vdots d \rightarrow n \vdots d \rightarrow n^2 \vdots d$

Mà $n^2+1 \vdots d \rightarrow 1 \vdots d \rightarrow d=1 \rightarrow
dpcm$