[ Toán 8] Bài tập nâng cao

[trangcuabong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC, biết 2p= a+b+c.
Chứng minh rằng: $ \dfrac{1}{p-a}$+$ \dfrac{1}{p-b}$+$ \dfrac{1}{p-c}$\geq$2( \dfrac{1}{a}$+$ \dfrac{1}{b}$+$\dfrac{1}{c})$
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?

B2: Với a,b,c là các số dương, Chứng minh rằng:

$\dfrac{a}{b+c}$+$\dfrac{b}{c+a}$+$\dfrac{c}{a+b}$\geq$\dfrac{3}{2}$

B3: Giải phương trình: $ x^4 +4x^3=2x^2-12x+3=0$

B4: Tìm giá trịnh lớn nhất hoặc nhỏ nhất nếu có của biểu thức sau:

B=$\dfrac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}$

 

[i_am_a_ghost]

Bài 2:
Ta có: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$\geq$9$

Với $x=b+c; y=a+c; z=a+b.$

Ta có:

PT=> $2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})$ \geq $9$

$=>(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}$)\geq$4,5$

=$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$+3\geq$4,5$
=> đpcm
Chú ý Latex nhé.

 

[phamhuy20011801]

Bài 1:
a,b,c>0; p-a>0; p-b>0;p-c>0.
Bài toán phụ:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
\Leftrightarrow $\frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}$
\Leftrightarrow $(a+b)^2 \ge 4ab$
\Leftrightarrow $(a-b)^2 \ge 0$ (đúng)
Áp dụng:
$\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b} \ge \frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}$
$\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \ge \frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}$
$\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a} \ge \frac{4}{2p-a-c}=\frac{4}{b}$
Cộng từng vế 3 bđt trên rồi chia cả 2 vế cho 2 ra đpcm.
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow a=b=c \Leftrightarrow Là tam giác đều.
Bài 4:
$B=3+\frac{1}{(x+1)^2+2}$
B đạt GTLN \Leftrightarrow $\frac{1}{(x+1)^2+2}$ đạt GTLN.
\Leftrightarrow $(x+1)^2+2$ đạt GTNN.
\Leftrightarrow x=-1.
$MaxE=3\frac{1}{2}$ \Leftrightarrow x=-1.

 

[thanghasonlam]

Cái Bđt thứ hai là cái nessbitt à . Mình có 1 cách chứng minh khác
Bài 2
Đây là 1 cách mình tỉm được ở trên mạng
đặt S= a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)

M= b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)

N= c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)

có M+N=3

áp dụng bất đẳng thức AM-GM

M+S>=3

N+S>=3

=>M+N+2S>=6

=>2S+3>=6

=>S>=3/2(đpcm)

 

[transformers123]

Bài 2:
Ta có: $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$\geq$9$

Với $x=b+c; y=a+c; z=a+b.$

Ta có:

PT=> $2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})$ \geq $9$

$=>(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}$)\geq$4,5$

=$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$+3\geq$4,5$
=> đpcm
Chú ý Latex nhé.

Cách khác =))

Theo bđt Schwarz, ta có:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} = \dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}
{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \ge
\dfrac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)} = \dfrac{3}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Với bài số 2 ta có một bất đẳng thức mạnh hơn:
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge \dfrac{3}{2}+3\sqrt[3]{\left(\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right)^2}$ với mọi $a,b,c$ dương

 

[transformers123]

Phức tạp hóa vấn đề bài 2 nên tí =))

Ta có: $\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{9(b+c)}{4(a+b+c)} \ge 2\sqrt{\dfrac{a+b+c}
{b+c}.\dfrac{9(b+c)}{4(a+b+c)}} = 3$

Mấy cái kia tương tự rồi cộng lại, ta có:

$\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{9(a+b)}
{a+b+c}+\dfrac{9(b+c)}{a+b+c}+\dfrac{9(c+a)}{a+b+c} \ge 9$

$\iff \dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1+\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{9(a+b+b+c+c+a)}
{a+b+c} \ge 9$

$\iff \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+3+ \dfrac{9}{2} \ge 9$

$\iff \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$

 

[hieuvp001]

Bài 2:
Ta có:
B=[tex]\frac{3x^2+6x +10}{x^2+2x+3}[/tex]=[tex]\frac{3(x^2+2x +3)+1}{x^2+2x+3}[/tex]=3+[tex]\frac{1}{(x^2+2x+3}[/tex] =3+[tex]\frac{1}{(x+1)^2+2}[/tex].Để B max thì 3+[tex]\frac{1}{(x+1)^2+2}[/tex] max hay tex]\frac{1}{(x^2+2x+3}[/tex] max \Rightarrow (x+1)^2+2 min.Ta có (x+1)^2+2\geq 2 \forall x.Dấu = xr khi x=-1.
\Rightarrow (x+1)^2+2 min =2.
\Rightarrow B max =3+[tex]\frac{1}{(-1+1)^2+2}[/tex]=[tex]\frac{7}{2}[/tex].Dấu = xr khi x=-1
\Rightarrow B max=7/2 tại x=-1
P/s:làm sao để viết chữ B thẳng với bt vậy bạn?