[Toán 8] Bài tập nâng cao

[luongduyhai123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người cùng tải về và làm nhé
_______________________________
Tập tin mọi người chú ý bên dưới

 

[dragon_promise]

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tính tổng [TEX]\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}[/TEX]

b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức [TEX]\frac{(AB+AC+CA)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2} [/TEX]đạt giá trị nhỏ nhất?

Ta có : [TEX]\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}HA'.BC}{\frac{1}{2}AA'.BC}[/TEX][TEX]=\frac{HA'}{AA'}[/TEX]

Tương tự, ta có[TEX] \frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}[/TEX]

[TEX] \frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow [/TEX] [TEX]\frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow [/TEX] [TEX]\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}} + \frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}+ \frac{S_{HAC}}{S_{ABC}} = 1[/TEX]

 

[dragon_promise]

Bài 1 :b) Gọi Ai là phân giác của tam giác ABC; im, in thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.

Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

[TEX]\frac{BI}{IC}=\frac{AB}{AC} ; \frac{AN}{NB}=\frac{AI}{BI} ; \frac{CM}{MA}=\frac{IC}{AI}[/TEX]

[TEX]\frac{BI}{IC}.\frac{AN}{NB}.\frac{CM}{MA}=\frac{AB}{AC}.\frac{AI}{BI}.\frac{IC}{AI}[/TEX] [TEX]= \frac{AB}{AC}.\frac{IC}{BI}=1[/TEX]

\Rightarrow [TEX]AN.BI.CM = BN. IC.AM[/TEX]

 

[dragon_promise]

Bài 1:
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức [TEX]\frac{(AB+AC+CA)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2} [/TEX]đạt giá trị nhỏ nhất?

Vẽ Cx vuông góc CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx

Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’

Xét 3 điểm B, C, D ta có:[TEX] BD \leq BC + CD[/TEX]

Tam giác BAD vuông tại A nên: [TEX]AB^2+AD^2 = BD^2[/TEX]

[TEX] \Rightarrow AB^2 + AD^2 \leq (BC+CD)^2[/TEX]

[TEX]AB^2[/TEX][TEX]+4CC[/TEX]'² \leq [TEX](BC+AC)^2[/TEX]

[TEX]4CC[/TEX]'² \leq [TEX](BC+AC)^2-AB^2 [/TEX]

Tương tự: [TEX]4AA[/TEX]'² \leq [TEX](AB+AC)^2-BC^2[/TEX]

[TEX]4BB[/TEX]'²[TEX]\leq (AB+BC)^2-AC^2 [/TEX]

Chứng minh được :4(AA’²+BB'²+CC’²)\leq [TEX](AB+BC+AC)^2[/TEX]

[TEX]\frac{(AB+AC+CA)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2} \geq 4 [/TEX]

Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow BC = AC, AC = AB, AB = BC \Leftrightarrow AB = AC =BC
\Leftrightarrow ABC đều