[Toán 8] Bài tập hình

[phamhuy20011801]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

$1.$ Cho đoạn thẳng $AB=4 cm. C$ là điểm di động sao cho $BC=3 cm$. Vẽ $\triangle \ AMN$ vuông tại $A$ có đường cao $AC$. Xác định vi trí của $C$ để $\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}$ đạt giá trị lớn nhất.

$2.$ Cho hình thoi $ABCD$ có $\hat{A}=120^o$. Tia $Ax$ tạo với tia $AB$ góc $15^o$ và cắt cạnh $BC$ tại $M$, cắt đường thẳng $CD$ tại $N$. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}$

 

[thaotran19]

Bài 1:
Vì $\triangle AMN$ vuông tại A nên
$\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AC^2}$
\Rightarrow$\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}$ lớn nhất khi $\dfrac{1}{AC^2}$ lớn nhất
\Leftrightarrow AC nhỏ nhất\Rightarrow C nằm trên AB.
p/s:Tớ ko biết làm đúng ko nữa, dạng này tớ mới làm lần đầu

 

[toanhoc20]

Tớ hỏi ông gồ tìm đc 2 cách nè,cậu xem thử nha!

Cách 1:Kẻ AH,AK vuông góc với CD, BC tại H và K
Ta có :$AH = AK = AB.sin60 = AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Ta lại có: $\widehat{ANH} = \widehat{BAN} = 15^o$
=> $AN = \dfrac{AH}{sin15}$
=> $\dfrac{1}{AN^2} = \dfrac{(sin 15)^2 }{AH^2}$
Tương tự ta có $\widehat{KAM} = 15^o$
=> $AM = \dfrac{AK}{cos15} = \dfrac{AH}{cos 15} $
=> $\dfrac{1}{AM^2} = \dfrac{(cos15)^2}{AH^2}$
=> $\dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2} = \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{4}{3AB^2}$

Cách 2: Vẽ tia Ay tạo với tia AD $\widehat{DAy} = 15^o$. Gọi P là giao của tia Ay và cạnh CD.
$\triangle{ABM} = \triangle{ADP} (g-c-g)$
=> AM = AP
Vẽ thêm đường cao AH của $\triangle ACD$. Nhận thấy AH cũng là đường cao của $\triangle{APN}$
$\triangle {ANP}$ vuông tại A ( tự c/m)
Do đó
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AN^2} + \dfrac{1}{AP^2} = \dfrac{1}{AN^2} + \dfrac{1}{AN^2}$
Mặt khác AH cũng là đường cao của $\triangle{ACD}$ nên
$AH = \dfrac{\sqrt{3}.AD}{2} (\triangle ACD$ đều.)
=> $AH^2 = \dfrac{3}{4 .AB^2}$