[Toán 8] Bài tập đại

[vitconxauxi_vodoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Rút gọn biểu thức sau

[TEX]P=\frac{(1^4+4)(5^4+4)(9^4+4)....(21^4+4)}{(3^4+4)(7^4+4)(11^4+4)....(23^4+4)}[/TEX]

 

[thong7enghiaha]

Ta có: $x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$

Thay vào $P$ ta thấy:

$P=\dfrac{(1^2-2.1+2)(1+2.1+2)(5^2-2.5+2)(5^2+2.5+2)...(21^2-2.21+2)(21^2+2.21+2)}{(3^2-2.3+2)(3^2+2.3+2)(7^2-2.7+2)(7^2+2.7+2)...(23^2-2.23+2)(23^2+2.23+2)}$

Tới đây ta đưa thêm 1 dạng tổng quát nữa là:

$(K+2)^2-2(K+2)+2=K^2+4K+4-2K-4+2=K^2+2K+2$

Áp dụng vào ta thấy:

$3^2-2.3+2=1^2+2.1+2$

$5^2-2.5+2=3^3+2.3+2$

......

Thay vào $P$ và rút gọn ta có:

$P=\dfrac{1^2-2.1+2}{23^3+2.23+2}$

\Rightarrow $P=\dfrac{1}{577}$