[Toán 8] Bài tập CM chia hết và tìm GT của n

R

ranmouri

L

lamdetien36

1a)
[TEX]2^{70}+3^{70}\\=(2^2)^{35}+(3^2)^{35}\\=4^{35}+9^{35}\\=(4+9)(...)=13(...)[/TEX]
Đoạn sau của hằng đẳng thức này mình quên mất rồi :D
 
N

nguyenkill

Bạn ơi hình như đề bạn bị thiếu n là số chẵn
Vì n chẵn nên n=2k
Ta có A = 20^n +16^n -3^n -1
=(20^n-1^n) + (16^n - 3^n)
=(20^2k-1^2k) +(16^2k - 3^2k)
(20^2k - 1^2k) chia hết cho (20-1)=19
(16^2k - 3^2k) chia hết cho (16+3)=19
\Rightarrow A chia hết cho 19
A=20^2k+16^2k-3^2k_1^2k
=(20^2k -3^2k) + (16^2k -1^2k)
(20^2k -3^2k) chia hết cho (20-3)=17
(16^2k -1^2k) chia hết cho (16+1)=17
\Rightarrow A chia het cho 17
Mà (17,19)=1 do đó A chia het cho (17.19)=323
Vậy A chia hết cho 323
 
  • Like
Reactions: Aya shameimaru
E

eunhyuk_0330

Bài 1:
a) Ta có:
$2^6\equiv -1 (mod 13)$
\Rightarrow $(2^6)^{11}\equiv (-1)^{11} (mod 13)$
hay $2^{66}\equiv -1 (mod 13)$
\Rightarrow $2^{66}.2^4\equiv -1.2^4 (mod 13)$
hay $2^{70}\equiv -16\equiv\ -3\equiv 10 (mod 13)$
Vậy, $2^{70}\equiv 10 (mod 13) (1) $
Ta lại có:
$3^3\equiv 1 (mod 13)$
\Rightarrow $(3^3)^{23}\equiv 1^{23} (mod 13)$
hay $3^{69}\equiv 1 (mod 13)$
\Rightarrow $3^{69}.3\equiv 1.3 (mod 13)$
hay $3^{70}\equiv 3 (mod 13) (2) $
Từ (1) và (2) suy ra:
$2^{70}+3^{70}\equiv 10+3\equiv 13\equiv 0 (mod 13)$
Vậy $2^{70} + 3^{70}$ chia hết cho 13
b) Ta có:
$1890\equiv 0 (mod 7)$
\Rightarrow $1890^{1930}\equiv 0 (mod 7) (1) $
Ta lại có:
$1945\equiv -1 (mod 7)$
\Rightarrow $1945^{1975}\equiv (-1)^{1975} (mod 7) $
hay $1945^{1975}\equiv -1 (mod 7) (2) $
Từ (1) và (2) suy ra:
$1890^{1930}+1945^{1975}\equiv 0 + (-1) (mod 7)$
hay $1890^{1930}+1945^{1975}\equiv -1 (mod 7)$
\Rightarrow $1890^{1930} + 1945^{1975} +1\equiv -1+1 (mod 7)$
Hay $1890^{1930}+1945^{1975} +1\equiv 0 (mod 7)$
Vậy, $1890^{1930}+ 1945^{1975} +1$ chia hết cho 7.
 
T

thaolovely1412

1/ Chứng minh rằng
[TEX]1890^{1930}+1945^{1975}+1[/TEX] chia hết cho 7
Ta thấy: [TEX]1890^{1930}=(7.270)^{1930}=7^{1930}.270^{1930} [/TEX]chia hết cho 7
1945 chia 7 dư 6 \Rightarrow[TEX] 1945^{1975} [/TEX]cũng chia 7 dư 6
1 chia 7 dư 1
\Rightarrow [TEX]1945^{1975}[/TEX]+1 chia hết cho 7
\Rightarrow [TEX]1890^{1930}+1945^{1975}[/TEX]+1 chia hết cho 7
 
B

braga

[TEX]\fbox{2b}.[/TEX] Phân tích [TEX]323=17.19[/TEX].
Do n chẵn nên ta đặt [TEX]n=2k \ ( k \in \mathbb{N} )[/TEX].
Ta có [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1[/TEX].
+, Ta có
[TEX]\begin{array}{l} 20 \equiv 1 \pmod{19} \Rightarrow 20^{2k} \equiv 1 \pmod{19} \\ 16 \equiv -3 \pmod{19} \Rightarrow 16^{2k} \equiv (-3)^{2k}=3^{2k} \pmod{19} \\ 3^{2k} \equiv 3^{2k} \pmod{19} \\ 1 \equiv 1 \pmod{19} \end{array}[/TEX]
Do đó [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \equiv 1+3^{2k}-3^{2k}-1= \fbox{0} \pmod{19}[/TEX]
+, Lại có
[TEX]\begin{array}{l} 20 \equiv -3 \pmod{17} \Rightarrow 20^{2k} \equiv (-3)^{3k}=3^{2k} \pmod{17} \\ 16 \equiv -1 \pmod{17} \Rightarrow 16^{2k} \equiv 1 \pmod{17} \\ 3^{2k} \equiv 3^{2k} \pmod{17} \\ 1 \equiv 1 \pmod{17} \end{array}[/TEX]

Do đó [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \equiv 3^{2k}+1-3^{2k}-1 = \fbox{0} \pmod{17}[/TEX]

Mà [TEX](17,19)=1[/TEX]. Vậy [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \ \vdots 323[/TEX].
 
H

huuthuyenrop2

Câu 1: a,
$2^{70} + 3{70} = (2^2)^{45} + (3^2)^{45} = 4^{45} + 9^{45}$ chia hết cho 13 (áp dụng $a^{2k+1} + b^{2k+1}$ chia hết cho a+b)
 
C

cobebichbu

braga said:
Lại có [/B][/I][/U]
[TEX]\begin{array}{l} 20 \equiv -3 \pmod{17} \Rightarrow 20^{2k} \equiv (-3)^{3k}=3^{2k} \pmod{17} \\ 16 \equiv -1 \pmod{17} \Rightarrow 16^{2k} \equiv 1 \pmod{17} \\ 3^{2k} \equiv 3^{2k} \pmod{17} \\ 1 \equiv 1 \pmod{17} \end{array}[/TEX]

Do đó [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \equiv 3^{2k}+1-3^{2k}-1 = \fbox{0} \pmod{17}[/TEX]

Mà [TEX](17,19)=1[/TEX]. Vậy [TEX]20^{2k}+16^{2k}-3^{2k}-1 \ \vdots 323[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cho em hỏi ạ, sao $20 \equiv -3 \pmod{17}$ được ạ? Em hơi ngơ nên anh/chị/..... thông cảm ạ :( 20 : 7 dư 3, -3 : 7 dư -3 mà, sao lại cùng mod 17 được ạ :(
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom