[Toán 8] Bài khó

[messivippro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c > 0, chung minh rang:
ab/c+bc/a+ac/b >= a+b+c (>= lon hon hoac bang

 

[kool_boy_98]

Ta có :

$\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} = c($\frac{a}{b}$ + \frac{b}{a})$ \geq $2c$

CM tương tự ta có

$\frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}$ \geq $2a$

$\frac{bc}{a} + \frac{ab}{c}$ \geq $2b$

\Rightarrow $2(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c})$ \geq $2(a+b+c)$

\Rightarrow $\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}$ \geq $a+b+c (dpcm)$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c$

 

[thaiha_98]

Ta có :

$\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} = c($\frac{a}{b}$ + \frac{b}{c})$ \geq $2c$

Chỗ này sai rồi ^^.
Phải là $\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} = c($\frac{a}{b}$ + \frac{b}{a})$ \geq $2c$
Chứ không phải là $\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} = c($\frac{a}{b}$ + \frac{b}{c})$ \geq $2c$

 

[vansang02121998]

Ơ sao tui không xác nhận đúng được nhỉ... Lạ thật

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm, ta có

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a} \geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}} = 2\sqrt{b^2} = 2b$

$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}} = 2\sqrt{c^2} = 2c$

$\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b} \geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}} = 2\sqrt{a^2} = 2a$

$\Rightarrow 2(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}) \geq 2(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq a+b+c$