[toán 8]bài HSG mà mình liệt kê ra vào giải nào!

[batrungpro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. tìm GTNN a) x(x+1)(x+2)(x+3) b) /x-2009/+/x+2009/
2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
a) ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
b) nếu (a+b+c)^2=3(ab+bc+ac) thì tam giác đó là tam giác đều
3.C/M
a) x,y dương CMR : 1/x+1/y\geq4/x+y
b) cho x,y,z dương CMR: x/y+y/z+z/x\geq3
c) cho a,b,c dương abc=1 CMR: (a+1)(b+1)(c+1)\geq8
d) cho a,b là số không âm cm : (a+b)(ab+1)\geq4ab
chú ý tiêu đề

 

[cuncon2395]

1. tìm GTNN [TEX]a) x(x+1)(x+2)(x+3) b) |x-2009|+|x+2009|[/TEX]
2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
a) [TEX]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)[/TEX]
b) nếu [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ac)[/TEX] thì tam giác đó là tam giác đều
3.C/M
a) x,y dương CMR : [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
b) cho x,y,z dương CMR: [TEX]\frac{ x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3[/TEX]
c) cho a,b,c dương abc=1 CMR:[TEX] (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8[/TEX]
d) cho a,b là số không âm cm : [TEX](a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]

chém 1 tí
bài 1
b, [TEX]|x-2009|+|x+2009|=|2009-x|+|x+2009| \geq |2009-x+x+2009| = 4018[/TEX]
GTNN= 4018

bài 3
a, xét hiệu [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{xy+y^2+x^2+xy-4xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}[/TEX]
Vì [TEX](x-y)^2 \geq 0 \forall x[/TEX]
x, y dương [TEX]\Rightarrow xy > 0, x+y > 0 \Rightarrow xy(x+y) > 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(x-y)^2}{xy(x+y)} \geq 0 [/TEX]
Vậy [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]

 

[havy_204]

1. tìm GTNN a) x(x+1)(x+2)(x+3) b) /x-2009/+/x+2009/
2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
a) ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
b) nếu (a+b+c)^2=3(ab+bc+ac) thì tam giác đó là tam giác đều
3.C/M
a) x,y dương CMR : 1/x+1/y\geq4/x+y
b) cho x,y,z dương CMR: x/y+y/z+z/x\geq3
c) cho a,b,c dương abc=1 CMR: (a+1)(b+1)(c+1)\geq8
d) cho a,b là số không âm cm : (a+b)(ab+1)\geq4ab

Câu 3: c)
ta có : a+1\geq2a------------------------(1)
b+1\geq2b-------------------------------(2)
c+1\geq2c---------------------------(3)
Nhân (1) (2)(3) ta có ( a+1)(b+1)(c+1)\geq8abc =8
>>>OK>>>>>>>
d) (a+b)\geq2[TEX]\sqrt{ab}[/TEX]-----------------------(1)
(ab+1) \geq2[TEX]\sqrt{ab}[/TEX]--------------(2)
Nhân (1) (2) \Rightarrow dpcm

 

[cuncon2395]

c) cho a,b,c dương abc=1 CMR: (a+1)(b+1)(c+1)\geq8
d) cho a,b là số không âm cm : (a+b)(ab+1)\geq4ab

c, ta có [TEX](a-1)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2-2a+1 \geq 0 \Rightarrow a^2-2a+1 +4a \geq 4a \Rightarrow (a+1)^2 \geq 4a(1)[/TEX]

tương tự [TEX](b+1)^2 \geq 4b(2)[/TEX]

[TEX](c+1)^2 \geq 4c (3)[/TEX]

nhân (1)(2)(3) vế vs vế
[TEX](a+1)^2.(b+1)^2.(c+1)^2\geq 64.a.b.c [/TEX](vì abc=1)

[TEX]\Rightarrow [(a+1)(b+1)(c+1)]^2\geq 64 \Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8 [/TEX]


d, ta có [TEX](a-b)^2 \geq 0 \Rightarrow a^2+b^2-2ab \geq 0 \Rightarrow a^2+b^2-2ab +4ab \geq 4ab \Rightarrow (a+b)^2 \geq 4ab[/TEX](*)

tương tự [TEX](ab+1)^2 \geq 4ab [/TEX](*)(*)
nhân (*)vs (*)(*)
[TEX](a+b)^2(ab+1)^2 \geq 16a^2b^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]

 

[havy_204]

1. tìm GTNN a) x(x+1)(x+2)(x+3) b) /x-2009/+/x+2009/
2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
a) ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
b) nếu (a+b+c)^2=3(ab+bc+ac) thì tam giác đó là tam giác đều
3.C/M
a) x,y dương CMR : 1/x+1/y\geq4/x+y
b) cho x,y,z dương CMR: x/y.y/z.z/x\geq3
c) cho a,b,c dương abc=1 CMR: (a+1)(b+1)(c+1)\geq8
d) cho a,b là số không âm cm : (a+b)(ab+1)\geq4ab

Câu3b) Áp dụng BDT cauchy cho 3 số hok âm ta có
[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}x}[/TEX]\geq3[TEX]\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}[/TEX]\geq3
>>>Dpcm>>>>>
Câu 2: a) vế đầu tiên thì áp dụng cauchy là ok, tớ làm vế sau nha:
ta có: a < b+c\Rightarrow [TEX]a^2[/TEX]< a( b+c)= ab + ac----------(1)
b < a+c\Rightarrow [TEX]b^2[/TEX]< b( a+c)= ab + bc--------------(2)
c< a+b\Rightarrow [TEX]c^2[/TEX]< c( b+a) = ac + bc-------------(3)
Công (1) (2)(3)\Rightarrow dpcm
>>>>>OK>>>>>>

 

[havy_204]

\Leftrightarrow

Câu3b) Áp dụng BDT cauchy cho 3 số hok âm ta có
[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}x}[/TEX]\geq3[TEX]\sqrt{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}[/TEX]\geq3
>>>Dpcm>>>>>
Câu 2: a) vế đầu tiên thì áp dụng cauchy là ok, tớ làm vế sau nha:
ta có: a < b+c\Rightarrow [TEX]a^2[/TEX]< a( b+c)= ab + ac----------(1)
b < a+c\Rightarrow [TEX]b^2[/TEX]< b( a+c)= ab + bc--------------(2)
c< a+b\Rightarrow [TEX]c^2[/TEX]< c( b+a) = ac + bc-------------(3)
Công (1) (2)(3)\Rightarrow dpcm
>>>>>OK>>>>>>

Câu 2: Í quên câu 2 còn có í đầu, làm lun: biến đổi tương đương
ab+ bc+ca \leq [TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX]+[TEX]c^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]- ab-bc-ca \geq0
\Leftrightarrow [TEX]2a^2-2b^2-2c^2[/TEX]-2ab-2ac-2bc \geq0
\Leftrightarrow [TEX]( a-b)^2[/TEX]+[TEX](b-c)^2[/TEX]+[TEX](c-a)^2[/TEX]\geq0
>>>>>>BDT đã dc chứng minh>>>>>>>>>
còn í sau ở trên kia

Câu 2 b) [TEX]( a+b+c)^2[/TEX]=3(ab+bc+ca)
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]+2ab+2bc+2ca - 3ab- 3ac-3bc =0
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]-ab-bc-ca =0
\Leftrightarrow [TEX](a-b)^2[/TEX]+[TEX](b-c)^2[/TEX]+[TEX](c-a)^2[/TEX]=0
\Leftrightarrow a =b =c
\Rightarrow tg đó là tam giác đều >>>>>>>>>>OOK>>>>>>>>>>>>..

 

[251295]

1. tìm GTNN a) x(x+1)(x+2)(x+3) b) /x-2009/+/x+2009/

2. cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR
a) ab+bc+ca\leqa^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
b) nếu (a+b+c)^2=3(ab+bc+ac) thì tam giác đó là tam giác đều
3.C/M
a) x,y dương CMR : 1/x+1/y\geq4/x+y
b) cho x,y,z dương CMR: x/y+y/z+z/x\geq3
c) cho a,b,c dương abc=1 CMR: (a+1)(b+1)(c+1)\geq8
d) cho a,b là số không âm cm : (a+b)(ab+1)\geq4ab

1) a) [TEX]x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2)[/TEX]

- Đặt [TEX]x^2+3x+1=y \Rightarrow x^2+3x=y-1; x^2+3x+2=y+1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2+3x)(x^2+3x+2)=(y-1)(y+1)=y^2-1 \geq -1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x(x+1)(x+2)(x+3) \geq -1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x(x+1)(x+2)(x+3)_{min}=-1[/TEX] tại [TEX]y=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}(or)x=\frac{-(\sqrt{5}+3)}{2}[/TEX]

b) [TEX]|x-2009|+|x+2009| \geq |2009-x+x+2009|=4018[/TEX]

[TEX]\Rightarrow |x-2009|+|x+2009|_{min}=4018[/TEX] tại [TEX] -2009 \leq x \leq 2009[/TEX]

2) a) - Ta có: [TEX]a^2+b^2 \geq 2ab; b^2+c^2 \geq2bc; c^2+a^2 \geq 2ca [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca(1)[/TEX]

- Và: [TEX]a<b+c \Rightarrow a^2 < ab+ac[/TEX]

- Tương tự có: [TEX]b^2<ab+bc; c^2 < ac+bc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)(2)[/TEX]

- Từ (1)(2) [TEX]\Rightarrow ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)[/TEX]

b) [TEX](a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)-3(ab+bc+ca)=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a=b=c[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] Tam giác ABC đều.

3) a) [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{xy+y^2+xy+x^2}{xy(x+y)} \geq \frac{4xy}{xy(x+y)}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2 \geq 4xy[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x+y)^2 \geq 4xy[/TEX]

- BĐT cuối đúng \Rightarrow [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX]

b) - Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm, ta có:

[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}=3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq 3[/TEX]

c) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

[TEX](a+1)(b+1)(c+1) \geq 2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8[/TEX]

d) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

[TEX](a+b)(ab+1) \geq2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4\sqrt{a^2b^2}=4ab[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (a+b)(ab+1) \geq 4ab[/TEX]