[Toán 8,9] Chứng minh BĐT và chia hết

[thuytien206]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: a^2/(b-1) + b^2/(a-1) ≥ 8 (a,b>1)
Bài 2:a/(√b) +b/(√a) ≥ √(2(a+b))
Bài 3: a,b,c ϵ Z. Cmr (a+b+c) ⋮ 5 thì a^(5 )+b^5+c^5 ⋮5

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
Cauchy-Schwarz:

$VT \ge \dfrac{t^2}{t-2}=m > 0$ với $t=x+y>2$

$\leftrightarrow t^2-mt+2m=0$

$\Delta = m^2-8m = m(m-8) \ge 0$

$\leftrightarrow m\ge 8 \mathfrak{(dpcm)}$

 

[thinhrost1]

Bài 3:

$(a+b+c) \vdots 5 \Rightarrow (a+b+c)^5 \vdots 5 \Leftrightarrow c^5+(5b+5a)c^4+(10b^2+20ab+10a^2)c^3+(10b^3+30ab^2+30a^2b+10a^3)c^2+(5b^4+20ab^3+30a^2b^2+20a^3b+5a^4)c+b^5+5ab^4+10a^2b^3+10a^3b^2+5a^4b+a^5 \Rightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 5 (đpcm)$

P/s: cách này không hay cho lắm

 

[baochauhn1999]

Bài 3:
Ta có:
$a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2+1)(a^2-1)=(a-1)a(a+1)(a^2+1)=(a-1)a(a+1)(a^2-4+5)=(a-1)a(a+1)(a-2)(a+2)+5(a-1)a(a+1)$
Nhận xét:
$5(a-1)a(a+1)$ chia hết cho $5$
$(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là tích $5$ số nguyên liên tiếp nên tồn tại $1$ số chia hết cho $5$
$=>a^5-a$ chia hết cho $5$
Tương tự:
$b^5-b$ chia hết cho $5$
$c^5-c$ chia hết cho $5$
$=>a^5+b^5+c^5-(a+b+c)$ chia hết cho $5$
Mà: $a+b+c$ chia hết cho $5$ nên $a^5+b^5+c^5$ chia hết cho $5$