T
thanlong_9
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ở đây có ai đang ôn thi hsg không? Trong quá trình ôn thi mình đã tích góp được 1 vài kiến thức , hôm nay xin chia sẽ cùng các bạn :
Số chính phương: 1 số chính phương sẽ luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 ; Mặt khác 1 số chính phương cũng chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1.
Chắc nhiều bạn biết công thức
[TEX]1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = \frac{(n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX] . Hôm nay mình xin c/m công thức này :
Từ hằng đẳng thức [TEX](a+b)^3 = a^3 + 3.a^2.b + 3.a.b^2 + b^3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1+ 1 [/TEX]
[TEX] 3^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2+ 1 [/TEX]
............................................
[TEX] (n+1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3n + 1 [/TEX]
Công theo vế của các đẳng thức trên ta có :
[TEX]2^3 + 3^3 +...+ (n+1)^3 = 1^3 +3.1^2 +3.1 +1 + 2^3 + 3.2^2 + 3.2 +1 +...+n^3 + 3n^2 + 3n +1 [/TEX]
[TEX]( 2^3 + 3^3 +...n^3 ) + (n+1)^3 = 1^3 + ( 2^3 + ... + n^3 ) + ( 3.1^2 + 3.2^2 +...+3n^2 ) + (1+1+...+1) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow ( n+1)^3 = 1^3 + (3.1^2 + 3.2^2 + ... + 3.n^2 ) + ( 1+1+...+1) [/TEX]{n chữ số 1}
[TEX]\Rightarrow(n+1)^3 = 1 + 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) + 1.n [/TEX]
\Rightarrow [TEX](n+1)^3 = 1 + 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) +\frac{ 3.( (n.n+1) }{ 2 } [/TEX]
\Rightarrow [TEX]n^3 + 3n^2 +2n +1 = 1+ 3( 1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) + \frac{3.(n.n+1)}{ 2 }[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n.(n+1)(2n+1)}{ 6} [/TEX] (đpcm)
Bằng cách c/m tương tự ta sẽ c/m được các công thức khác
SORRY CÁC BẠN ! GIỜ MÌNH PHẢI ĐI RA THỊ TRẤN CHƠI VỚI BỐ MẸ ĐÂY ! CÓ GÌ KHÚC MẮC HỎI THIENLONG_CUONG
>-
GOOD LUCK
:khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4):
chú ý latex
Số chính phương: 1 số chính phương sẽ luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 ; Mặt khác 1 số chính phương cũng chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1.
Chắc nhiều bạn biết công thức
[TEX]1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = \frac{(n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX] . Hôm nay mình xin c/m công thức này :
Từ hằng đẳng thức [TEX](a+b)^3 = a^3 + 3.a^2.b + 3.a.b^2 + b^3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1+ 1 [/TEX]
[TEX] 3^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2+ 1 [/TEX]
............................................
[TEX] (n+1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3n + 1 [/TEX]
Công theo vế của các đẳng thức trên ta có :
[TEX]2^3 + 3^3 +...+ (n+1)^3 = 1^3 +3.1^2 +3.1 +1 + 2^3 + 3.2^2 + 3.2 +1 +...+n^3 + 3n^2 + 3n +1 [/TEX]
[TEX]( 2^3 + 3^3 +...n^3 ) + (n+1)^3 = 1^3 + ( 2^3 + ... + n^3 ) + ( 3.1^2 + 3.2^2 +...+3n^2 ) + (1+1+...+1) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow ( n+1)^3 = 1^3 + (3.1^2 + 3.2^2 + ... + 3.n^2 ) + ( 1+1+...+1) [/TEX]{n chữ số 1}
[TEX]\Rightarrow(n+1)^3 = 1 + 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) + 1.n [/TEX]
\Rightarrow [TEX](n+1)^3 = 1 + 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) +\frac{ 3.( (n.n+1) }{ 2 } [/TEX]
\Rightarrow [TEX]n^3 + 3n^2 +2n +1 = 1+ 3( 1^2 + 2^2 + ... + n^2 ) + \frac{3.(n.n+1)}{ 2 }[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n.(n+1)(2n+1)}{ 6} [/TEX] (đpcm)
Bằng cách c/m tương tự ta sẽ c/m được các công thức khác
SORRY CÁC BẠN ! GIỜ MÌNH PHẢI ĐI RA THỊ TRẤN CHƠI VỚI BỐ MẸ ĐÂY ! CÓ GÌ KHÚC MẮC HỎI THIENLONG_CUONG
>- GOOD LUCK
:khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4)::khi (4):
chú ý latex
Last edited by a moderator: