[Toán 7] Toán Bất Đẳng Thức

[serena_tsukino]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:[TEX]1+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}[/TEX]

 

[hangxiti12]

Với k > 1 ta có: [TEX]\frac{1}{k^2}[/TEX] = [TEX]\frac{4}{4k^2}[/TEX]< [TEX]\frac{4}{4k^2-1}[/TEX]=[TEX]\frac{4}{(2k -1) (2k+1)}[/TEX], do đó:
[TEX]\frac{1}{k^2}[/TEX] < 2 . ([TEX]\frac{1}{2k - 1}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{2k+1}[/TEX])
Suy ra: 1 + [TEX]\frac{1}{2^2}[/TEX] +.....+ [TEX]\frac{1}{n^2}[/TEX] < 1 + 2.([TEX]\frac{1}{3}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{5}[/TEX]) + 2.([TEX]\frac{1}{5}[/TEX]-[TEX]\frac{1}{7}[/TEX]) +....+ 2.([TEX]\frac{1}{2n-1}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{2n+1}[/TEX])
= 1 + 2.([TEX]\frac{1}{3}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{2n+1}[/TEX]) < 1 + [TEX]\frac{2}{3}[/TEX] = [TEX]\frac{5}{3}[/TEX]

 

[pinkylun]

Ta cho: $A=1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}$

=>A<$1+\dfrac{1}{1.2}+...+\dfrac{1}{(n-1)n}$

=>A<$1+1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$

=>A<$1+1-\dfrac{1}{n}$

=>A<$2-\dfrac{1}{n}$

mà $n\geq{3}$ ( cái này tại mình thấy bạn ghi đến $2^2$ nên mình đoán vậy đó)

=>A<$2-\dfrac{1}{3}$

=>A<$\dfrac{5}{3}$