[Toán 7] Tìm số nguyên và chứng minh?

[cumeo2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Tìm các số nguyên x, y biết $x^{2} + 2x - 8y^{2}=41$
b) Biết x [TEX]\in[/TEX] Q và 0 < x < 1. CM $x^{n}$<x với n [TEX]\in[/TEX] N, n\geq2

 

[soicon_boy_9x]

$a)2x-8y^2 \vdots 2 $ mà 41 không chia hết cho 2 nên $x^2$ không chia hết cho 2

$\leftrightarrow x^2+2x=x(x+2)=(2k+1)^2+2(2k+1)=4k^2+8k+3$

$\leftrightarrow x^2+2x-8y^2=(2k+1)(2k+3)-8y^2=4k^2+8k-8y^2+3$ chia 4
dư 3 mà $41$ chia 4 dư 1 nên phương trình không có nghiệm nguyên

$b) 0<x<1 \leftrightarrow 0<x^{n-1}<1$

Vì x và $x^{n-1}$ đều dương nên ta nhân 2 vế phải của bất đẳng thức với
x

$\leftrightarrow x^n < x(dpcm)$

 

[0973573959thuy]

b) Biết $x \in Q$ và 0 < x < 1. CM $x^n < x$ với $n \in N$, n \geq 2

$x^n - x = x(x^{n - 1} - 1)$

Ta có : $0 < x < 1$ nên x là số dương.

$x < 1 \rightarrow x^{n -1} < 1 \rightarrow x^{n - 1} - 1 < 0$ nên $x^{n -1} - 1$ là số âm

Tích của 2 số thực trái dâu nhau luôn là 1 số âm nên $x(x^{n -1}- 1) < 0 \leftrightarrow x^n - x <0$

Vậy $x^n < x$