[TEX]x^3-x^2-2xy=y^3+y^2+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3-y^3=x^2+2xy+y^2+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^2-2xy+y^2+4xy+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)(x^2-2xy+y^2+3xy)=x^2-2xy+y^2+4xy+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)[(x-y)^2+3xy]=(x-y)^2+4xy+100[/TEX]
Do [TEX]x,y \in N[/TEX] nên ta có:
[TEX](x-y)^2+4xy+100>0 \ ; \ (x-y)^2+3xy \geq 0 \ \Rightarrow x-y>0 \Rightarrow x>y[/TEX]
Đặt [TEX]x-y=u(u \in N*) \ ; \ xy=v ( v \in N)[/TEX]
[TEX]PT \Leftrightarrow u(u^2+3v)=u^2+4v+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow u^3+3uv=u^2+4v+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3uv-4v=u^2-u^3+100[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow v(3u-4)=u^2-u^3+100[/TEX]
Với [TEX]u=1 \Rightarrow -v=100 \Rightarrow v=-100[/TEX](loại)
Với [TEX]u>1 \Rightarrow u^2-u^3+100\geq 0 \Rightarrow 100 \geq u^3-u^2 \Rightarrow u^2(u-1) \leq 100 \Rightarrow u \in \{2;3;4;5\}[/TEX]
[TEX]TH_1: \ u=2 \Rightarrow 2v=96 \Rightarrow v=48 \Leftrightarrow \{x-y=2 \\ xy=48[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \{x=8 \\ y=6[/TEX]
[TEX]TH_2: \ u=3 \Rightarrow 5v=82[/TEX]( loại )
[TEX]TH_3: \ u=4 \Rightarrow 8v=52[/TEX] ( loại )
[TEX]TH_4: \ u=5 \Rightarrow 11v=0 \Rightarrow v=0 \Leftrightarrow \{x-y=5 \\ xy=0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow \{x=5 \\ y=0[/TEX]
Vậy nghiệm của phương trình là [TEX]\fbox{(x;y) \in \{(8;6);(5;0)\}}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn