a)Tìm mọi số tự nhiên n sao cho : $n+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2 \vdots 5$
- Nếu n=5k. $ (k\in N)$ thì: $5k+(5k+1)^2+(5k+2)^2+(5k+3)^2 \equiv 1+2^2+3^2 \equiv 14 \equiv 4 \pmod{5}$. Như vậy với n=5k thì $n+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2 \not\vdots 5$.
- Nếu n=5k+1 $ (k\in N)$ thì: $5k+1+(5k+1+1)^2+(5k+1+2)^2+(5k+1+3)^2 \equiv 1+2^2+3^2+4^2 \equiv 20 \equiv 0 \pmod{5}$. Như vậy với n=5k+1 thì $n+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2 \vdots 5$.
- Nếu n=5k+2 $ (k\in N)$ thì: $5k+2+(5k+2+1)^2+(5k+2+2)^2+(5k+2+3)^2 \equiv 2+3^2+4^2+5^2 \equiv 52 \equiv 2 \pmod{5}$. Như vậy với n=5k+2 thì $n+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2 \not\vdots 5$.
Tuơng tự chứng minh với n=5k+3; n=5k+4.
Kết luận: Với n=5k+1 hoặc n=5k+3 $ (k\in N)$ thì $n+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2 \vdots 5$
b,Do $n>3$ và n là số nguyên dương nên n có dạng: $n=4k+p$. Với $ p \in { 0;1;2;3 }$
- nếu $p=0$ thì $n=4k$. Khi đó: $2^{4k}=16^k=10a+b$. Thấy: 16^k có tận cùng là 6; 10a có tận cùng là 0 nên để $10a+b$ có tận cùng bằng 6 thì b=6 (vì b<10). Khi đó $ab \vdots 6$.
- Nếu $p=1$ thì $n=4k+1$. Khi đó: $2^{4k+1}=16^k.2=10a+b$. Ta thấy $16^k$ có tận cùng là 6 ~~> $16^k.2$ có tận cùng là 2. Mà 10a có t. cùng là 0 ~~> 10a+b có tận cùng là 2 \Leftrightarrow b=2 (vì b<10). (1)
Ta có: $16^k.2=10a+2$ \Rightarrow $16^k=5a+1 $\Rightarrow$ 16^k-1=5a $. áp dụng tính chất $a^n - 1 \vdots a - 1$ \Rightarrow , ta có $16^k-1 \vdots 15$ \Rightarrow $5a \vdots 15$ \Rightarrow $ a \vdots 3$ (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow$ab \vdots 6$.
- Nếu $p=2$ thì $n=4k+2$. Khi đó: $2^{4k+2}=16^k.4=10a+b $. Ta thấy $16^k$ có tận cùng là 6 ~~> $16^k.4$ có tận cùng là 4. Mà 10a có t. cùng là 0 ~~> 10a+b có tận cùng là 4 \Leftrightarrow b=4 (vì b<10). (3)
Ta có: $16^k.4=10a+4 $\Rightarrow $16^k.4-4=10a$ \Rightarrow $16^k.2-2=5a$ \Rightarrow $2 (16^k-1)=5a$ . áp dụng tính chất $a^n - 1 \vdots a - 1$ \Rightarrow , ta có $16^k-1 \vdots 15$ \Rightarrow $5a \vdots 15 $\Rightarrow a \vdots 3$ (4)
Từ (3) và (4) \Rightarrow$ab \vdots 6$
- - Nếu $p=3$ thì $n=4k+3$. Khi đó: $2^{4k+3}=16^k.8=10a+b $. Ta thấy $16^k$ có tận cùng là 6 ~~> $16^k.8$ có tận cùng là 8. Mà 10a có t. cùng là 0 ~~> 10a+b có tận cùng là 8 \Leftrightarrow b=8 (vì b<10). (5)
Ta có: $16^k.8=10a+8 $\Rightarrow $16^k.4-8=10a$ \Rightarrow $4^2k.2-4=5a$ \Rightarrow $4 (4^{k-1}-1)=5a$ . áp dụng tính chất $a^n - 1 \vdots a - 1$ \Rightarrow , ta có $4^{k-1} \vdots 15$ \Rightarrow $5a \vdots 15$ \Rightarrow $a \vdots 3$ (6)
Từ (5) và (6 \Rightarrow$ab \vdots 6$
Kết luận đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn