Toán [Toán 7] Thảo luận

[Bạch Dương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh rằng nếu a không là bình phương đúng của một số tự nhiên thì căn bậc hai của a là số vô tỉ

 

[Vi Nguyen]

1. Giả sử rằng
   
   là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a / b =
   
   .
2. Như vậy {\displaystyle {\sqrt {2}}}
   
   có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)2 = 2.
3. Từ (2) suy ra a2 / b2 = 2 và a2 = 2 b2.
4. Khi đó a2 là số chẵn vì nó bằng 2 b2 (hiển nhiên là số chẵn)
5. Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a2 là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).
6. Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.
7. Thay (6) vào (3) ta có: (2k)2 = 2b2
   
   4k2 = 2b2 {\displaystyle \Leftrightarrow }
   
   2k2 = b2.
8. Vì 2k2 = b2 mà 2k2 là số chẵn nên b2 là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn [lý luận tương tự như (5)].
9. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận {\displaystyle {\sqrt {2}}}

là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận

là số vô tỉ.

Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."
''like'' for me
Alice