Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Lấy điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho MA<MB (M khác A). Trên tia Ax,By lần lượt lấy các điểm C,D sao cho CA= MB và BD=MA.
- Chứng minh △CAM=△MBD.
- Chứng minh tam giác CMD vuông cân.
- Gọi O là trung điểm của CD, tia AO cắt tia By tại E. Chứng minh BAEˆ=45∘ và CE song song với AD.
- AO cắt MC tại F, BO cắt MD tại G. Chứng minh CF^2+DG^2=FG^2.
1. Xét $ \Delta CAM $ và $ \Delta MBD $ ta có:
$ CA = MB $ (gt)
$ \widehat{CAM} = \widehat{MBD} = 90^o $ (gt)
$ AM = BD $ (gt)
$ \Rightarrow \Delta CAM = \Delta MBD $ (c - g - c)
$ \Rightarrow CM = MD $ (cạnh tương ứng) và $ \widehat{CMA} = \widehat{BDM} $ (góc tương ứng) và $ \widehat{ACM} = \widehat{BMD} $ (góc tương ứng)
2. Xét $ \Delta MBD $ vuông tại B ta có: $ \widehat{BDM} + \widehat{DMB} = 90^o \Leftrightarrow \widehat{CMA} + \widehat{DMB} = 90^o $
$ \widehat{CMA} + \widehat{DMB} + \widehat{CMD} = 180^o \\\Leftrightarrow 90^o + \widehat{CMD} = 180^o \\\Leftrightarrow \widehat{CMD} = 90^o $
Xét $ \Delta CMD $ ta có:
$ CM = MD $ (cmt)
$ \widehat{CMD} = 90^o $
$ \Rightarrow \Delta CMD $ vuông cân tại M
3.
$
\left.\begin{matrix}
BE \perp AB\\
AC \perp AB
\end{matrix}\right\} \Rightarrow BE // AC \Rightarrow \widehat{EDO} = \widehat{ACO} $ (vì là hai góc so le trong)
Xét$ \Delta EDO $ và $ \Delta ACO $ ta có:
$ \widehat{EDO} = \widehat{ACO} $ (cmt)
$ DO = CO $ (gt)
$ \widehat{COA} = \widehat{EOD} $ (đối đỉnh)
$ \Rightarrow \Delta EDO = \Delta ACO $ (g - c - g)
$ \Rightarrow ED = AC $ (cạnh tương ứng) và $ AO = EO $ (cạnh tương ứng)
$ \Rightarrow ED = AC = MB $
Lại có: $ AM = DB $ (gt)
$ \Rightarrow AM + MB = ED + DB \\\Leftrightarrow AB = EB $
Xét $ \Delta BAE $ ta có:
$ \widehat{ABE} = 90^o $ (gt)
$ AE = EB $ (cmt)
$ \Rightarrow \Delta BAE $ vuông cân tại B
$ \Rightarrow \widehat{BAE} = \widehat{BEA} = 45^o $
Xét $ \Delta AOD $ và $ \Delta EOC $ ta có:
$ AO = EO $ (cmt)
$ \widehat{AOD} = \widehat{EOC} $ (đối đỉnh)
$ CO = DO $ (gt)
$ \Rightarrow \Delta AOD = \Delta EOC $ (c - g - c)
$ \Rightarrow \widehat{OAD} = \widehat{ECO} $ (góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
$ \Rightarrow CE // AD $
4.
Xét $ \Delta ABO $ và $ \Delta EBO $ ta có:
$ OA = OE $ (cmt)
$ \widehat{BAO} = \widehat{BEO} = 45^o $ (cmt)
$ BA = BE $ (cmt)
$ \Rightarrow \Delta ABO = \Delta EBO $ (c - g - c)
$ \widehat{ABO} = \widehat{EBO} $ (góc tương ứng)
Mà $ \widehat{ABO} + \widehat{EBO} = \widehat{ABE} = 90^o $
$ \Rightarrow \widehat{ABO} = \widehat{EBO} = \frac{90^o}{2} = 45^o $
Vì $ BE // AC \Rightarrow \widehat{CAF} = \widehat{BEA} = 45^o $ (vì là hai góc so le trong)
Xét $ \Delta CAF $ và $ \Delta MBG $ ta có:
$ \widehat{ACF} = \widehat{BMG} $ (cmt)
$ CA = BM $ (gt)
$ \widehat{CAF} = \widehat{GBM} = 45^o $
$ \Rightarrow \Delta CAF = \Delta MBG $ (g - c - g)
$ \Rightarrow GM = CF $ (cạnh tương ứng)
Xét $ \Delta AFM $ và $ \Delta BGD $ ta có:
$ \widehat{AMF} = \widehat{BDG} $ (cmt)
$ AM = BD $ (gt)
$ \widehat{FAM} = \widehat{GBD} = 45^o $
$ \Rightarrow \Delta AFM = \Delta BGD $ (g - c - g)
$ \Rightarrow FM = GD $ (cạnh tương ứng)
$ \widehat{FMG} = 90^o $
Áp dụng định lý Pytago cho $ \Delta FMG $ vuông tại M ta có:
$ FM^2 + GM^2 = FG^2 \\\Leftrightarrow GD^2 + CF^2 = FG^2 $
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
