[Toán 7] So sánh

[buitrunganh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:So sánh 2 phân số sau:
[TEX]\frac{2^{23} +1}{2^{25}+1}[/TEX] và [TEX]\frac{2^{25}+1}{2^{27}+1}[/TEX]


Mò edit: bạn chú ý tiêu đề:

[Toán +lớp]+nội dung cần hỏi

 

[acidnitric_hno3]

Bài 1:So sánh 2 phân số sau:
[TEX]2^{23}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{2^{25}}[/TEX] +1 và [TEX]2^{25}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{2^{27}}[/TEX]+1
Ta thấy [TEX]\frac{1}{2^{25}}[/TEX] rất nhỏ
và [TEX]\frac{1}{2^{27}}[/TEX] cũng rất nhỏ
=> Em chỉ cần so sánh [TEX]2^{23}[/TEX] và [TEX]2^{25}[/TEX] là được

 

[locxoaymgk]

Bài 1:So sánh 2 phân số sau:
[TEX]2^23[/TEX] +1/[TEX]2^25[/TEX] +1 và [TEX]2^25[/TEX]+1/[TEX]2^27[/TEX]+1

Ta thấy [TEX] (2^2-1)(2^{50}-1)>0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 2^{52}+1-2^{50}-4>0[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 2^{52}+1>2^{50}+4.[/TEX]

[TEX] \Rightarrow 2^{52}+1 >(2^{48}+1).2^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{2^{52}+1}{2^{27}}>\frac{(2^{48}+1).2^2}{2^{27}}.[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2^{25}+\frac{1}{2^{27}}>2^{23}+\frac{1}{2^{27}}[/TEX].

[TEX] \Leftrightarrow 2^{25}+\frac{1}{2^{27}}+1>2^{23}+\frac{1}{2^{27}}+1[/TEX].

 

[braga]

2 bạn trên đều hiểu sai đề, nếu mà như thế thì làm gì mà cần phải +1 vào cả 2 vế.

Đặt [TEX]A=A=\frac{2^{23} +1}{2^{25}+1} \ ; \ B= \frac{2^{25}+1}{2^{27}+1}[/TEX]

Nhân cả 2 vễ với [TEX]2^2[/TEX] ta được:

[TEX]2^2A=\frac{(2^{23} +1)2^2}{2^{25}+1}=\frac{2^{25}+4}{2^{25}+1}[/tex][tex]=1+\frac{3}{2^{25}+1}[/TEX]

[TEX]2^2B=\frac{(2^{25} +1)2^2}{2^{27}+1}=\frac{2^{27}+4}{2^{27}+1}[/tex][tex]=1+\frac{3}{2^{27}+1}[/TEX]

Ta có: [TEX]\frac{3}{2^{25}+1}>\frac{3}{2^{27}+1}\Longrightarr 1+\frac{3}{2^{25}+1}>1+\frac{3}{2^{27}+1}\Longrigh4A>4B \Longrightarr A>B[/TEX]

 

[harrypham]

Bài toán tổng quát. So sánh hai số sau với [TEX]m,n[/TEX] nguyên dương.

[TEX]A= \frac{a^n+m}{a^{n+2}+m}[/TEX] và [TEX]B= \frac{a^{n+2}+m}{a^{n+4}+m}.[/TEX]​

 

[braga]

Bài toán tổng quát. So sánh hai số sau với [TEX]m,n[/TEX] nguyên dương.

[TEX]A= \frac{a^n+m}{a^{n+2}+m}[/TEX] và [TEX]B= \frac{a^{n+2}+m}{a^{n+4}+m}.[/TEX]​

Giải luôn bài tổng quát để các bạn vận dụng cho dễ.

Trước khi làm ta để ý: [TEX]{n+2}[/TEX] lớn hơn [TEX]n[/TEX] 2 đơn vị.

Và [TEX]n+4>{n+2}[/TEX] 2 đơn vị nên ta nhân cả và A,B [TEX]a^2[/TEX]. khi đó ta được:

[TEX]a^2A= \frac{(a^n+m).a^2}{a^{n+2}+m}=\frac{a^{n+2}+a^2m}{a^{n+2}+m}=1+\frac{a^2m-m}{a^{n+2}+m}[/TEX]

[TEX]a^2B=\frac{(a^{n+2}+m).a^2}{a^{n+4}+m}=\frac{a^{n+4}+a^2m}{a^{n+4}+m}=1+\frac{a^2m-m}{a^{n+4}+m}[/TEX]

Ta có: [TEX]1+\frac{a^2m-m}{a^{n+2}+m}>1+\frac{a^2m-m}{a^{n+4}+m} \Rightarrow a^2A>a^2B\Rightarrow A>B[/TEX]

 

[harrypham]

Bài 1:So sánh 2 phân số sau:
[TEX]\frac{2^{23} +1}{2^{25}+1}[/TEX] và [TEX]\frac{2^{25}+1}{2^{27}+1}[/TEX]

Trên, braga đã giới thiệu một cách, xin đưa thêm 2 cách nữa.

Đặt [TEX]2^{23}=n[/TEX]

Cách 1. [TEX]\frac{A}{B}= \frac{(n+1)(2^4n+1)}{(2^2n+1)(2^2n+1)}= \frac{16n^2+8n+1+9n}{16n^2+8n+1}= \frac{9n}{16n^2+8n+1}+1>1[/TEX].
Vậy [TEX]A>B[/TEX].

Cách 2. [TEX]\frac{1}{A}= \frac{4n+1}{n+1}=4- \frac{3}{n+1}[/TEX] và [TEX]\frac{1}{B}= \frac{16n+1}{4n+1}= 4- \frac{3}{4n+1}[/TEX].
Do đó [TEX]\frac{1}{A}< \frac{1}{B} \Rightarrow A>B[/TEX].

Chứng minh bài toán tổng quát tương tự.