[ Toán 7] Những bài toán khó

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với 8 số 0;1;2;3;4;5;6;7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3?
2) Cho $2^n$=10.a+b. Chứng minh rằng nếu n>3 thì tích số a và b chia hết cho 6. Ở đây a,b,n là các số nguyên dương và b<10
3) Chứng minh rằng số $n^n$-$n^2$+n-1 chia hết cho $(n-1)^2$ với mọi số nguyên n>1
( Đề thi vô địch New York năm 1975)
4) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết 2 số 2.n+1;3.n+1 đều là 2 số chính phương
5) ( bài này dễ thôi) Cho 11 số nguyên liên tiếp thế nào cũng có 2 số có chữ số tận cùng giống nhau
6) Chứng minh rằng
trong các số tự nhiên thế nào cũng có số k sao cho $1983^k$-1 chia hết cho $10^5$
7) Chứng minh rằng 19.$8^n$+17 là hợp số với mọi số tự nhiên n
( Đề thi vô địch toán Anh;1976)
8) Chứng minh rằng $n^2$+4.n+5 không thể chia hết cho 8 với n là số lẻ
9) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
Đề mình ra hơi khó

 

[thaolovely1412]

Bài 1 (bài này mik dc học ùi)
Cách làm như sau:
Chia 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 thành các nhóm có 5 phần tử sao cho nhất thiết phải có 1 và 5.
\Rightarrow Ta sẽ lập được:1.1.5.4.3=60 nhóm.
* Xét 1 nhóm bất kì:
Áp dụng công thức tính "lặp với tần số cho trước",ta có
Mỗi nhóm sẽ lập được 5! số thỏa mãn.
Vậy lập được tất cả là 5!60 số thỏa mãn

 

[duc_2605]

1) Với 8 số 0;1;2;3;4;5;6;7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3?
Bài 1 dễ thế nhể??
3 làm hàng đơn vị
Hàng trăm nghìn lấy được 6 số (trừ số 3 và 0)
Hàng chục nghìn lấy được 6 số (trừ số 3 và 1 số đã lấy được ở hàng trăm nghìn)
Hàng nghìn lấy 5 số
trăm lấy 4 số
Chục lấy 3 số
Hàng đơn vị lấy 1 số là số 3
Lấy được: 6.6.5.4.3.1 = 2160 số
Có nhầm ko nhỉ!

 

[thaolovely1412]

bài 2
Đã được giải tại đây nha: https://www.google.com.vn/url?sa=t&...ooCgAQ&usg=AFQjCNGz00YQE9cND7w0KoAEqgHV5uHn6Q

 

[thaolovely1412]

bài 4: bạn tham khảo ở địa chỉ này nhé: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=348239

 

[chonhoi110]

Bài 3:
Ta có: $n^n - n^2 + n - 1 $

$= n^n - n - (n - 1)^2$

Ta có: $n^n - n = n( n^{n - 1} - 1 ) = n(n - 1)( n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 )$

Ta có: $n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 ≡ n-1 (mod n-1)$

$\rightarrow n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1$ chia hết cho $n-1$

$\rightarrow n^n - n = n(n-1)(n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1)$ chia hết cho $(n - 1)^2 \rightarrow Q.E.D$

P/s: Lớp 7 học đồng dư chưa nhỉ ?:-S

 

[thaolovely1412]

Bài 6
Cho k lần lượt lấy [TEX]10^ 5+1[/TEX] giá trị liên tiếp từ 1 trở đi, ta được [TEX]10^ 5+1[/TEX] giá trị khác nhau của [TEX]1983 ^k -1[/TEX] .
Chia 10 5+1 số này cho 10 ^5 ta chỉ có nhiều nhất là 10^ 5số dư.
Vì vậy theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số cho cùng số dư khi chia cho [TEX]10 ^5[/TEX].
Giả sử số đó là [TEX]1983^ m-1[/TEX] và [TEX]1983 n-1[/TEX] (m>n)
\Rightarrowhiệu của hai số này phải chia hết cho[TEX] 105 (1983 ^m-1)-(1983 ^m-1)[/TEX]chia hết cho [TEX]10^ 5[/TEX].

Mà[TEX] (1983 ^m-1)-(1983 ^n-1)=1983^ m-1983^ n=1983^ n(1983 ^{m-n}-1).[/TEX]

Nhưng 105và [TEX]1983n[/TEX] nguyên tố cùng nhau, do đó phải có[TEX] 1983^{ m-n}-1[/TEX] chia hết cho [TEX]10^ 5[/TEX]. Như vậy có số k’=m-n sao cho [TEX]1983 ^k -1[/TEX] chia hết cho 105.

 

[duc_2605]

Bài 9 nè: http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2136437&postcount=3

 

[duc_2605]

Bài 3:
Ta có: $n^n - n^2 + n - 1 $

$= n^n - n - (n - 1)^2$

Ta có: $n^n - n = n( n^{n - 1} - 1 ) = n(n - 1)( n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 )$

Ta có: $n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 ≡ n-1 (mod n-1)$

$\rightarrow n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1$ chia hết cho $n-1$

$\rightarrow n^n - n = n(n-1)(n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1)$ chia hết cho $(n - 1)^2 \rightarrow Q.E.D$

P/s: Lớp 7 học đồng dư chưa nhỉ ?:-S

Chị giải thích chỗ này đi ạ?
$n( n^{n - 1} - 1 ) = n(n - 1)( n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 )$

 

[chonhoi110]

Chị giải thích chỗ này đi ạ?
$n( n^{n - 1} - 1 ) = n(n - 1)( n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 )$

À cái này là hằng đẳng thức HKI lớp 8 sẽ được học lớp 7 mà khó kinh @.@

 

[riverflowsinyou1]

Ah

Chị giải thích chỗ này đi ạ?
$n( n^{n - 1} - 1 ) = n(n - 1)( n^{n - 2} + n^{n - 3} + ... + n + 1 )$

Ah là như thế này bạn nè
$a^m$-$b^m$=(a-b).(a^m-1+......................(a.b)^m-) cái này quên mất tiêu =))

 

[lamdetien36]

Bài 8: dễ nhất )
$n^2 + 4n + 5 = n(n + 4) + 5$
n lẻ nên n chia 4 dư 1 hoặc 3.
Xét $n = 4k + 1$:

$n(n + 4) = (4k + 1)(4k + 5) = 16k^2 + 24k + 5$
Suy ra $n(n + 4) + 5$ chia 8 dư 2
​

Xét $n = 4k + 3$:

$n(n + 4) = (4k + 3)(4k + 7) = 16k^2 + 40k + 21$
Suy ra $n(n + 4) + 5$ chia 8 dư 2
​

Vậy với n lẻ thì $n^2 + 4n + 5$ không chia hết cho 8.