[ Toán 7] Những bài toán khó dành cho học sinh giỏi đủ trình độ giải những bài này

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh rằng $2^{9}$+$2^{99}$ chia hết cho 100
2) Chứng minh rằng nếu n chia 3 dư 1 thì tổng $3^{2n}$+$3^{n}$+1 chia hết cho 13
3) Cho N là số chẵn không chia hết cho 10. Tìm chữ số hàng chục của $N^{20}$
4) Một rừng trong có dạng hình vuông mỗi chiều 1km. Trong rừng có 4500 cây thông, cây to nhất có đường kính 0,5m. CMR trong khu rừng có ít nhất 60 mảnh đất, diện tích mỗi mảnh $200m^{2}$ và không có 1 cây thông nào .
5) Trên một chuyến tàu từ Huế ra Đà Nẵng có năm người khách là Phú;Quý;Thọ;Khang;Ninh làm quen với nhau
Phú nói : Tôi và Quý cùng là bác sĩ còn Thọ là giáo viên
Quý nói : Tôi là kĩ sư Ninh cũng thế, Thọ là giáo viên
Thọ nói: Tôi và Phú không phải là giáo viên Khang là nhà báo mà !
Khang nói : Bố tôi là bác sĩ mẹ tôi là giáo viên còn tôi chỉ là sinh viên mà thôi !
Ninh lại cãi: Phú và Quý đều là bác sĩ tôi là sinh viên
Biết rằng trong câu nói của 5 người nửa đúng nửa sai hãy tìm nghề thích hợp của mỗi người
6) Tìm tổng tất cả các số có 3 chữ số sao cho mỗi số là tích của 4 số nguyên tố khác nhau
ĐỀ NÀY CỰC KHÓ KHÔNG PHẢI DỄ THÔNG BÁO TRƯỚC AI LÀM ĐÚNG ĐƯỢC NHIỀU THANKS

 

[duc_2605]

5)
Phú nói : Tôi và Quý cùng là bác sĩ còn Thọ là giáo viên
Quý nói : Tôi là kĩ sư Ninh cũng thế, Thọ là giáo viên
Thọ nói: Tôi và Phú không phải là giáo viên Khang là nhà báo mà !
Khang nói : Bố tôi là bác sĩ mẹ tôi là giáo viên còn tôi chỉ là sinh viên mà thôi !
Ninh lại cãi: Phú và Quý đều là bác sĩ tôi là sinh viên
Biết rằng trong câu nói của 5 người nửa đúng nửa sai hãy tìm nghề thích hợp của mỗi người.
Trùng hợp thật! Đây là toán suy luận nâng cao lớp 5! Toán lớp 5 mà pghải lập bảng vs suy luận khó lém. ko dám
1) Chứng minh rằng 2^9+2^99 chia hết cho 100
bạn xem 1 số cách giải:
Cách 1: ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25)
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90)
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.
Cách 2: P = 2^9 + 2^99 = 2^9 + (2^11)^9 = (2+2^11)(2^8 - 2^7.2^11 + ..-2.2^77 + 2^88)

Nhân tử thứ nhất 2 + 2^11 = 2050
Nhân tử thứ hai là một số chẳn = 2A (vì là tổng hiệu của các bội của 2)

=> P = 2050.2A = 4100.A chia hết cho 100

Cách 3: Một số có hai chữ số tận cùng bằng 25 thì chia hết cho 25. Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100( 4 và 25 nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác: (2^10)+1 chia hết cho 25 và 2^9 +2^99 chia hết cho 4
Ta có: 2^9-2^99= (2^9+2^19)-(2^19+2^29)+(2^29+2^39)-....+… - (2^79+2^89)+ (2^89+2^99) =(1+2^10)*2^9-(1+2^10)*2^19+.....-
= (1+2^10)*(2^9-2^19+2^29-2^39+2^49-2^59+2…
Suy ra 2^9+2^99 chia hết cho 25
vậy 2^9+2^99 chia hết cho 100
Nguồn: yahoo

Dùng đồng dư mình chưa học

 

[riverflowsinyou1]

!!

5)
Phú nói : Tôi và Quý cùng là bác sĩ còn Thọ là giáo viên
Quý nói : Tôi là kĩ sư Ninh cũng thế, Thọ là giáo viên
Thọ nói: Tôi và Phú không phải là giáo viên Khang là nhà báo mà !
Khang nói : Bố tôi là bác sĩ mẹ tôi là giáo viên còn tôi chỉ là sinh viên mà thôi !
Ninh lại cãi: Phú và Quý đều là bác sĩ tôi là sinh viên
Biết rằng trong câu nói của 5 người nửa đúng nửa sai hãy tìm nghề thích hợp của mỗi người.
Trùng hợp thật! Đây là toán suy luận nâng cao lớp 5! Toán lớp 5 mà pghải lập bảng vs suy luận khó lém. ko dám
1) Chứng minh rằng 2^9+2^99 chia hết cho 100
bạn xem 1 số cách giải:
Cách 1: ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25)
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90)
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.
Cách 2: P = 2^9 + 2^99 = 2^9 + (2^11)^9 = (2+2^11)(2^8 - 2^7.2^11 + ..-2.2^77 + 2^88)

Nhân tử thứ nhất 2 + 2^11 = 2050
Nhân tử thứ hai là một số chẳn = 2A (vì là tổng hiệu của các bội của 2)

=> P = 2050.2A = 4100.A chia hết cho 100

Cách 3: Một số có hai chữ số tận cùng bằng 25 thì chia hết cho 25. Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100( 4 và 25 nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác: (2^10)+1 chia hết cho 25 và 2^9 +2^99 chia hết cho 4
Ta có: 2^9-2^99= (2^9+2^19)-(2^19+2^29)+(2^29+2^39)-....+… - (2^79+2^89)+ (2^89+2^99) =(1+2^10)*2^9-(1+2^10)*2^19+.....-
= (1+2^10)*(2^9-2^19+2^29-2^39+2^49-2^59+2…
Suy ra 2^9+2^99 chia hết cho 25
vậy 2^9+2^99 chia hết cho 100
Nguồn: yahoo

Dùng đồng dư mình chưa học

Mod cũng dễ lắm bạn Vd nhé 2002=5.200+2 Vậy nên 2002=2 (mod 4) ( dấu bằng nớ thêm 1 gạch ở phía dưới nữa)
Gợi ý bạn không cùng dùng những cách đó bạn chỉ cần đem xét 2 chữ số tận cùng của 2 số này thôi cách này phù hợp với mấy em lớp 6 nữa

 

[popstar1102]

2)
Vì n không chia hết cho 3 nên n=3k+1 (k thuộc N)
khi đó
$3^{2n}+3^n+1=3^{2(3k+1)}+3^{3k+1}+1$

=$27^{3k}.9+27^k.3+1=9(27^{3k}-1)+3(27^k-1)+9+3+1$

=9.13M+3.13N+13 chia hết cho 13 (dpcm)

 

[nangcuong7e]

!!!

Bài 3: Giải:
Ta có: Vì N là 1 số chẵn không chia hết cho 10 nên N không chia hết cho 5
\RightarrowN có dạng [TEX]5k \pm\ 1[/TEX] hoặc [TEX]5k\pm\2[/TEX]
+,Trường hợp 1: [TEX]N =5k\pm\1[/TEX] (k thuộc N), ta có:
[TEX]N^{20} =(5k\pm\1)^{20} =(5k)^{20}\pm\20.(5k)^{19}\pm\ ... \pm\ 20.5k\pm\ + 1[/TEX]
Nhận thấy rằng mỗi số hạng (không tính số hạng cuối cùng) đều chia hết cho 25
Do đó, nếu [TEX]N =5k\pm\1[/TEX] thì [TEX]N^{20}[/TEX] : 25 dư 1 (1)
+, Trường hợp 2: [TEX]N =5k\pm\2[/TEX] (k thuộc N), ta có:
[TEX]N^{20} =(5k\pm\2)^{20} =(5k)^{20}\pm\20.(5k)^{19}\pm\ ... \pm\2^{19}.5k +2^{20}[/TEX]
Nhận thấy rằng mỗi số hạng (không tính số hạng cuối cùng) đều chia hết cho 25
Mà [TEX]2^{20}=1024^2[/TEX] :25 dư 1
Do đó, nếu [TEX]N =5k\pm\2[/TEX] thì [TEX]N^{20}[/TEX] : 25 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
[TEX]N^{20}[/TEX] :25 dư 1
\Rightarrow Hai chữ số tận cũng của [TEX]N^{20}[/TEX] có thể là 26, 51, 76
Mà N là 1 số chẵn, tức N chia hết cho 2 nên [TEX]N^{20}[/TEX] chia hết cho 4
\Leftrightarrow hai chữ số tận cùng của [TEX]N^{20}[/TEX] chia hết cho 4
Mà trong 3 số trên chỉ có 76 chia hết 4
Vậy: Chữ số hàng chục của [TEX]N^{20}[/TEX] thỏa mãn đề bài là 7

 

[namcaok]

ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25)
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90)
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.

 

[cafeom]

1) Chứng minh rằng 2^9+2^99 chia hết cho 100
bạn xem 1 số cách giải:
Cách 1: ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25)
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90)
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.
Cách 2: P = 2^9 + 2^99 = 2^9 + (2^11)^9 = (2+2^11)(2^8 - 2^7.2^11 + ..-2.2^77 + 2^88)

Nhân tử thứ nhất 2 + 2^11 = 2050
Nhân tử thứ hai là một số chẳn = 2A (vì là tổng hiệu của các bội của 2)

=> P = 2050.2A = 4100.A chia hết cho 100

Cách 3: Một số có hai chữ số tận cùng bằng 25 thì chia hết cho 25. Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100( 4 và 25 nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác: (2^10)+1 chia hết cho 25 và 2^9 +2^99 chia hết cho 4
Ta có: 2^9-2^99= (2^9+2^19)-(2^19+2^29)+(2^29+2^39)-....+… - (2^79+2^89)+ (2^89+2^99) =(1+2^10)*2^9-(1+2^10)*2^19+.....-
= (1+2^10)*(2^9-2^19+2^29-2^39+2^49-2^59+2…
Suy ra 2^9+2^99 chia hết cho 25
vậy 2^9+2^99 chia hết cho 100
Bài 3: Giải:
Ta có: Vì N là 1 số chẵn không chia hết cho 10 nên N không chia hết cho 5
N có dạng 5k \pm\ 1 hoặc 5k\pm\2
+,Trường hợp 1: N =5k\pm\1 (k thuộc N), ta có:
N^{20} =(5k\pm\1)^{20} =(5k)^{20}\pm\20.(5k)^{19}\pm\ ... \pm\ 20.5k\pm\ + 1
Nhận thấy rằng mỗi số hạng (không tính số hạng cuối cùng) đều chia hết cho 25
Do đó, nếu N =5k\pm\1 thì N^{20} : 25 dư 1 (1)
+, Trường hợp 2: N =5k\pm\2 (k thuộc N), ta có:
N^{20} =(5k\pm\2)^{20} =(5k)^{20}\pm\20.(5k)^{19}\pm\ ... \pm\2^{19}.5k +2^{20}
Nhận thấy rằng mỗi số hạng (không tính số hạng cuối cùng) đều chia hết cho 25
Mà 2^{20}=1024^2 :25 dư 1
Do đó, nếu N =5k\pm\2 thì N^{20} : 25 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
N^{20} :25 dư 1
Hai chữ số tận cũng của N^{20} có thể là 26, 51, 76
Mà N là 1 số chẵn, tức N chia hết cho 2 nên N^{20} chia hết cho 4
hai chữ số tận cùng của N^{20} chia hết cho 4
Mà trong 3 số trên chỉ có 76 chia hết 4
Vậy: Chữ số hàng chục của N^{20} thỏa mãn đề bài là 7

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:
$2^{100}$ chấm dứt bằng $376$ (lý thuyết $100k$)
$2^{99}$ chấm dứt bằng $188$
$2^9=512$
Cộng các vế lại ta được $2^9+2^{99} \equiv 700 \equiv 0 \pmod{100}$
Vậy $2^9+2^{99} \vdots 100$

 

[tanngoclai]

Bài 6

Ta có tích 4 số nguyên tố khác nhau nhỏ nhất là : 2.3.5.7 = 210
Tích 4 số nguyên tố khác nhau nhỏ nhất sau 2 là : 3.5.7.11 = 1155 ( có 4 chữ số )
Do đó, tích của 4 số nguyên tố khác nhau chỉ có duy nhất 1 số có 3 chữ số là 210
~> Tổng .....

 

[vipbooy]

Cái bài toán suy luận hay nhưng mà mọi người chỉ dẫn một cách cụ thể cho mình được không? Cái bài Phú Quý gì đó

 

[thuhongnguyen]

dễ thôi

1) Chứng minh rằng 2^9+2^99 chia hết cho 100
bạn xem 1 số cách giải:
Cách 1: ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25)
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90)
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.
Cách 2: P = 2^9 + 2^99 = 2^9 + (2^11)^9 = (2+2^11)(2^8 - 2^7.2^11 + ..-2.2^77 + 2^88)

Nhân tử thứ nhất 2 + 2^11 = 2050
Nhân tử thứ hai là một số chẳn = 2A (vì là tổng hiệu của các bội của 2)

=> P = 2050.2A = 4100.A chia hết cho 100

Cách 3: Một số có hai chữ số tận cùng bằng 25 thì chia hết cho 25. Một số chia hết cho 4 và 25 thì chia hết cho 100( 4 và 25 nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác: (2^10)+1 chia hết cho 25 và 2^9 +2^99 chia hết cho 4
Ta có: 2^9-2^99= (2^9+2^19)-(2^19+2^29)+(2^29+2^39)-....+… - (2^79+2^89)+ (2^89+2^99) =(1+2^10)*2^9-(1+2^10)*2^19+.....-
= (1+2^10)*(2^9-2^19+2^29-2^39+2^49-2^59+2…
Suy ra 2^9+2^99 chia hết cho 25
vậy 2^9+2^99 chia hết cho 100
Bài 3: Giải:
Ta có: Vì N là 1 số chẵn không chia hết cho 10 nên N không chia hết cho 5
N có dạng 5k \pm\ 1 hoặc 5k\pm\2
+,Trường hợp 1: N =5k\pm\1 (k thuộc N), ta có:
N^{20} =(5k\pm\1)^{20} =(5k)^{20}\pm\20.(5k)^{19}\pm\ ... \pm\ 20.5k\pm\ + 1
Nhận thấy rằng mỗi số hạng (không tính số hạng cuối cùng) đều chia hết cho 25
Do đó, nếu N =5k\pm\1 thì N^{20} : 25 dư 1 (1)
+, Trường hợp 2: N =5k\pm\2 (k thuộc N), ta có:
N^{20} =(5k\pm\2)^{20} =(5k)^{20}\pm\20.(5k)^{19}\pm\ ... \pm\2^{19}.5k +2^{20}
Nhận thấy rằng mỗi số hạng (không tính số hạng cuối cùng) đều chia hết cho 25
Mà 2^{20}=1024^2 :25 dư 1
Do đó, nếu N =5k\pm\2 thì N^{20} : 25 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
N^{20} :25 dư 1
Hai chữ số tận cũng của N^{20} có thể là 26, 51, 76
Mà N là 1 số chẵn, tức N chia hết cho 2 nên N^{20} chia hết cho 4
hai chữ số tận cùng của N^{20} chia hết cho 4
Mà trong 3 số trên chỉ có 76 chia hết 4
Vậy: Chữ số hàng chục của N^{20} thỏa mãn đề bài là 7

 

[dinhkhang_2003]

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = |x + 2,8| - 3,5
ai biết giải giùm ạ @-)

 

[♫ Phạm Công Thành ♫]

1, ta có:
A= 2^9 +2^99=2^2(2^7 + 2^97)=4((2^7 + 2^97) đồng dư 0 (mod 4).
2^5 = 32 đồng 7 (mod 25)
=> 2^10 đồng dư 7^2 (mod 25) đồng dư -1(mod 25).
mặt khác:
A= 2^9 +2^99 =2^9(1+2^90)
mà (1+2^90) = 1 + (2^10)^9 đồng dư 1 -1=0 (mod 25)
=> 2^9 +2^99 đồng dư 0 (mod 25)
BSCNN của 4 và 25 =100
=> A đồng dư 0 (mod 100)
hay A chia hết cho 100.