Cho tam giác ABC có 90*< góc B <135*; góc C <45*. Kẻ AD vuông góc với BC . CMR: BD<AD<CD
Và bài 117+ bài 115 trang 40,41 trong sách toán nâng cao và các chuyên đề hình học
" Mong mọi người giúp đỡ "
Do [TEX]90^o < \hat{ABC} < 135^o[/TEX] mà [TEX]\widehat{ABD}[/TEX] = [TEX]180^o[/TEX] - [TEX]\widehat{ABC}[/TEX] \Rightarrow [TEX]45^o < \hat{ABD} < 90^o[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] ABD vuông tại D \Rightarrow [TEX]\widehat{BAD}+\widehat{ABD}[/TEX] = [TEX]90^o[/TEX] mà [TEX] \hat{ABD} > 45^o [/TEX] \Rightarrow[TEX] \hat{BAD} < 45^o[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] ABD có [TEX]\hat{BAD} < 45^o < \hat{ABD}[/TEX]
\Rightarrow BD< AD (1)
[tex]\large\Delta[/tex] ACD vuông tại D \Rightarrow [TEX]\widehat{CAD}+\widehat{C}[/TEX] = [TEX]90^o[/TEX] mà [TEX] \hat{C} < 45^o [/TEX] \Rightarrow[TEX] \hat{CAD} > 45^o[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] ACD có [TEX]\hat{C} < 45^o < \hat{CAD}[/TEX]
\Rightarrow AD < CD (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow BD < AD < CD
BÀi 115:
a/ Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho MA = ME
[tex]\large\Delta[/tex] ABM= [tex]\large\Delta[/tex] CEM ( c-g-c )
\Rightarrow AB = CE và [TEX] \widehat{MAB}[/TEX] = [TEX] \widehat{CEM}[/TEX]
Do AB = CE mà AB < AC \Rightarrow CE < AC
[tex]\large\Delta[/tex] ACE có CE < AC \Rightarrow [TEX]\widehat{MAC}[/TEX] < [TEX]\widehat{CEM}[/TEX] mà [TEX] \widehat{MAB}[/TEX] = [TEX] \widehat{CEM}[/TEX] \Rightarrow [TEX]\widehat{MAC}[/TEX] < [TEX] \widehat{MAB}[/TEX] ( đpcm )
Gọi AI là phân giác [TEX] \widehat{BAC}[/TEX]
Do [TEX] \widehat{MAB}[/TEX] + [TEX] \widehat{MAC}[/TEX] = [TEX] \widehat{BAC}[/TEX] mà [TEX]\widehat{MAC}[/TEX] < [TEX] \widehat{MAB}[/TEX] \Rightarrow [TEX] \widehat{MAB}[/TEX] < [TEX]\frac{1}{2}[/TEX][TEX] \widehat{BAC}[/TEX] = [TEX] \widehat{BAI}[/TEX] \Rightarrow tia AI nằm giữa 2 tia AB, AM \Rightarrow I nằm giữa B, M( đpcm )
b/ Ta có [TEX] \widehat{AMB}[/TEX] > [TEX] \widehat{ACB}[/TEX] ( góc ngoài tam giác )
mà [TEX]\widehat{AMB}[/TEX] = [TEX] \widehat{AMD}[/TEX] ( MA là phân giác [TEX] \widehat{BMD}[/TEX] ) \Rightarrow [TEX] \widehat{AMD}[/TEX] > [TEX] \widehat{ACB}[/TEX]
Lại có [TEX] \widehat{MDC}[/TEX] > [TEX] \widehat{AMD}[/TEX] ( góc ngoài tam giác ) \Rightarrow [TEX] \widehat{MDC}[/TEX] > [TEX] \widehat{ACB}[/TEX]
[tex]\large\Delta[/tex] MCD có [TEX] \widehat{MDC}[/TEX] > [TEX] \widehat{ACB}[/TEX] \Rightarrow MC > MD mà MC = MB ( M là trung điểm BC ) \Rightarrow MB > MD ( đpcm )
BÀI 117:
Gọi I là giao điểm của ED và BC
Kẻ DH, EK vuông góc với BC
Xét [tex]\large\Delta[/tex] CDF và [tex]\large\Delta[/tex] EFD có
[TEX] \widehat{CDF}[/TEX] = [TEX] \widehat{EFD}[/TEX] ( EF//CD \Rightarrow 2 góc ở vị trí so le trong )
cạnh ED chung
[TEX] \widehat{CFD}[/TEX] = [TEX] \widehat{EDF}[/TEX] ( ED//CF \Rightarrow 2 góc ở vị trí so le trong )
\Rightarrow [tex]\large\Delta[/tex] BEK = [tex]\large\Delta[/tex] CDH ( cạnh huyền - góc nhọn )
\Rightarrow BK = CH
\Rightarrow BK + KC = CH + KC \Rightarrow BC = HK
[tex]\large\Delta[/tex] KEI có [TEX]\hat{K} =90^o[/TEX] \Rightarrow KI < EI
[tex]\large\Delta[/tex] HDI có [TEX]\hat{H} =90^o[/TEX] \Rightarrow HI < DI
\Rightarrow KI + HI < EI + DI \Rightarrow HK < ED
mà HK = BC, DE = CF \Rightarrow BC < CF ( đpcm )
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn