[Toán 7]Nâng cao CẦN GẤP

[hongnhung.2002]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đa thức P(x)=[TEX]ax^{3}[/TEX] + [TEX]bx^{2}[/TEX] + cx + d với a,b,c,d là các hệ số nguyên.Biết rằng P(x) chia hết cho 5 \forallx là số nguyên. Chứng tỏ các số nguyên a,b,c,d cũng chia hết cho 5

 

[thangvegeta1604]

P(x) chia hết cho 5 \forall x nguyên.
Nên P(0) chia hết cho 5.
\Rightarrow a.0+b.0+c.0+d chia hết cho 5.\Rightarrow d chia hết cho 5.
Vì P(1) chia hết cho 5\Rightarrow a+b+c+d chia hết cho 5.
\Rightarrow a+b+c chia hết cho 5. (1)
Vì P(-1) chia hết cho 5\Rightarrow -a+b-c+d chia hết cho 5.
\Rightarrow -a+b-c chia hết cho 5. (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrow (a+b+c)+(-a+b-c) chia hết cho 5.
\Rightarrow 2b chia hết cho 5.
\Rightarrow b chia hết cho 5.
Vì P(2) chia hết cho 5\Rightarrow 8a+4b+2c+d chia hết cho 5
\Rightarrow 8a+2c chia hết cho 5\Rightarrow 4a+c chia hết cho 5. (3)
Mặt khác, a+b+c+d chia hết cho 5\Rightarrow a+c chia hết cho 5. (4)
Từ (3) và (4)\Rightarrow (4a+c)-(a+c) chia hết cho 4.
\Rightarrow 3a chia hết cho 5\Rightarrow a chia hết cho 5.
Do đó c cũng chia hết cho 5.
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5.