[toán 7]Một số bài toán về nguyên tắc Dirichlet cho học sinh lớp 7

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Chứng minh rằng trong k số nguyên liên tiếp ta chỉ có một số chia hết cho k
2)CmR tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6
3)Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu?
4)Chứng minh rằng số 19.8^n+17 luôn chia hết một số nào đó với n thuộc N
5)Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1).(p-1) chia hết cho 24
6)Chứng minh rằng tích 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

 

[vuiquavui]

2)CmR tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6
Đặt 3 số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2 (a thuộc Z )
\Rightarrow a(a+1)(a+2) sẽ chia hết cho 2 và 3
Ta có a(a+1)(a+2) luôn chia hết cho 3 vì:
giả sử a chia hết cho 3 \Rightarrow a(a+1)(a+2) chia hết cho 3
giả sử a chia 3 dư 1 hoặc 2 ( a chia 3 không thể dư 3 +n (n thuộc N) )
\Rightarrow a+2 hoặc a+3 chia hết cho 3 mà a(a+1)(a+2) có a+1 và a+2 nên
a(a+1)(a+2) luôn chia hết cho 3
Ta có a(a+1)(a+2) luôn chia hết cho 2 vì:
giả sử a chia hết cho 2 \Rightarrow a(a+1)(a+2) chia hết cho 2
giả sử a chia 2 dư 1 ( a chia 2 không thể dư 2+n(n thuộc N) ) \Rightarrow a+1 chia hết cho 2
mà a(a+1)(a+2) có a+1 nên
a(a+1)(a+2) luôn chia hết cho 2
mà (2;3)=1
\Rightarrow a(a+1)(a+2) chia hết cho 2.3=6 (đpcm)

 

[vuiquavui]

Gọi 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp là 2n va 2n+2
\Rightarrow 2n.(2n+2) chia hết cho 2
\Leftrightarrow 2n.2(n+1)
\Leftrightarrow 4n.(n+1) chia hết cho 2
mà n(n+1) chia hết cho 2 | 4 chia hết cho 4
\Rightarrow 2n.(2n+2) chia hết cho 2.4=8(đpcm)

 

[passivedefender]

Bài 1
Gọi số dư khi chia mỗi số nguyên trong [tex]k[/tex] số nguyên liên tiếp cho [tex]k[/tex] là [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k}[/tex] thì [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k} \epsilon N; 0 \leq r_{1}<r_{2}<...<r_{k} \leq k-1[/tex]; [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k}[/tex] đôi một khác nhau [tex]\Rightarrow r_{k}-r_{1}=k-1 \geq r_{i}-r_{j}=i-j[/tex]
Giả sử [tex]r_{1}, r_{2},...,r_{k}>0[/tex] hay không có số nguyên nào trong [tex]k[/tex] số nguyên liên tiếp chia hết cho [tex]k[/tex] thì khi chia các số nguyên liên tiếp đó cho [tex]k[/tex] được tất cả [tex]k-1[/tex] số dư đôi một khác nhau, mà có tất cả [tex]k[/tex] số dư đôi một khác nhau [tex]\Rightarrow[/tex] tồn tại hai số dư [tex]r_{m};r_{n}[/tex] trong dãy thoả mãn [tex]r_{m} \equiv r_{n}(mod k);r_{m} \geq r_{n}[/tex], mà [tex]r_{m} \neq r_{n} \Rightarrow r_{m}=r_{n}+kt[/tex] ([tex]t \epsilon N*[/tex]) [tex]\Rightarrow r_{m}-r_{n}=kt\geq k.1=k>k-1=r_{k}-r_{1} \geq r_{m}-r_{n}[/tex] (vô lý) [tex]\Rightarrow[/tex] tồn tại ít nhất một số nguyên trong dãy đó chia hết cho [tex]k[/tex] (1)
Giả sử trong dãy đó có hai số chia hết cho [tex]k[/tex] hay tồn tại hai số [tex]r_{p},r_{q}[/tex] trong dãy sao cho [tex]r_{p} \equiv r_{q} \equiv 0(mod k)[/tex]; [tex]r_{p} \neq r_{q}[/tex]; [tex]r_{p} \geq r_{q} \Rightarrow r_{p}=r_{q}+kt'[/tex] ([tex]t' \epsilon N*[/tex]) [tex]\Rightarrow r_{p}-r_{q} =kt' \geq k.1=k>k-1=r_{k}-r_{1}\geq r_{p}-r_{q}[/tex] (vô lý) [tex]\Rightarrow[/tex] không thể tồn tại hai số nguyên có cùng số dư khi chia cho [tex]k[/tex] trong dãy (2)
(1), (2) [tex]\Rightarrow[/tex] đpcm

 

[passivedefender]

Bài 5 và bài 6
[tex](p-1)p(p+1) \vdots 3[/tex] (dễ dàng chứng minh) (1)
[tex]p[/tex] là số nguyên tố lớn hơn [tex]3[/tex] [tex]\Rightarrow (p;3)=1[/tex] (2)
(1), (2) [tex]\Rightarrow (p-1)(p+1) \vdots 3[/tex] (3)
[tex]p[/tex] là số nguyên tố lớn hơn [tex]3[/tex] [tex]\Rightarrow p[/tex] lẻ [tex]\Rightarrow p-1,p+1[/tex] là hai số chẵn liên tiếp [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]p-1 \vdots 2[/tex] và [tex]p+1 \vdots 4[/tex] hoặc ngược lại [tex]\Rightarrow (p-1)(p+1) \vdots 2.4=8[/tex] (bài 6 đó =))) (4)
(3), (4) [tex]\Rightarrow (p-1)(p+1) \vdots [3;8]=24[/tex]

 

[passivedefender]

Bài 4) Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu =))? Đề bài bá đạo =)).
Gọi bốn số nguyên liên tiếp là [tex]a(a+1)(a+2)(a+3)[/tex], tồn tại một bội của [tex]2;3;4[/tex] nên nó chia hết cho [tex][2;3;4]=24[/tex]
Bài 5) Đơn giản, nó chia hết cho [tex]1[/tex] chứ mấy =))

 

[passivedefender]

Bài 5)
Nếu [tex]n=0[/tex] thì [tex]19.8^{n}+17=19.8^{0}+17=19+17=36 \vdots 2[/tex]
Nếu [tex]n>0[/tex] thì
Với [tex]n \equiv 2 (mod 4)[/tex] hoặc [tex]n \vdots 4[/tex] thì [tex]n=2k[/tex] ([tex]k \epsilon N*[/tex])
[tex]\Rightarrow 19.8^{n}+17=19.8^{2k}+17=19.64^{k}+17[/tex]
[tex]64 \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow 64^{k} \equiv 1^{k}=1 (mod 3) \Rightarrow 19.64^{k}+17 \equiv 19.1+17=36 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow 19.8^{n}+17 \vdots 3[/tex]
Với [tex]n \equiv 1 (mod 4)[/tex] thì [tex]n=4k+1[/tex] ([tex]k \epsilon N[/tex])
[tex]\Rightarrow 19.8^{n}+17=19.8^{4k+1}+17=19.8^{4k}.8+17=152.4096^{k}+17[/tex]
[tex]4096 \equiv 1 (mod 13) \Rightarrow 4096^{k} \equiv 1 (mod 13) \Rightarrow 152.4096^{k}+17 \equiv 152.1+17=169 \equiv 0 (mod 13) \Rightarrow 19.8^{n}+17 \vdots 13[/tex]
Với [tex]n \equiv 3 (mod 4)[/tex] thì [tex]n=4k+3[/tex] ([tex]k \epsilon N[/tex])
[tex]\Rightarrow 19.8^{n}+17=19.8^{4k+3}+17=19.8^{3}.8^{4k}=9728.4096^{k}+17[/tex]
[tex]4096 \equiv 1 (mod 5) \Rightarrow 4096^{k} \equiv 1 (mod 5) \Rightarrow 9728.4096^{k}+17 \equiv 9728.1+17=9745 \equiv 0 (mod 5) \Rightarrow 19.8^{n}+17 \vdots 5[/tex]
Từ những điều trên [tex]\Rightarrow[/tex] xong

 

[riverflowsinyou1]

Nói hay lắm

Bài 4) Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu =))? Đề bài bá đạo =)).
Gọi bốn số nguyên liên tiếp là [tex]a(a+1)(a+2)(a+3)[/tex], tồn tại một bội của [tex]2;3;4[/tex] nên nó chia hết cho [tex][2;3;4]=24[/tex]
Bài 5) Đơn giản, nó chia hết cho [tex]1[/tex] chứ mấy =))

Bài 5 thực ra mih chỉ gây đánh đố mà thôi chứ nó chia hết cho 2;1;3 cũng có thể là 4

 

[thieukhang61]

Bài 1
Gọi số dư khi chia mỗi số nguyên trong [tex]k[/tex] số nguyên liên tiếp cho [tex]k[/tex] là [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k}[/tex] thì [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k} \epsilon N; 0 \leq r_{1}<r_{2}<...<r_{k} \leq k-1[/tex]; [tex]r_{1},r_{2},...,r_{k}[/tex] đôi một khác nhau [tex]\Rightarrow r_{k}-r_{1}=k-1 \geq r_{i}-r_{j}=i-j[/tex]
Giả sử [tex]r_{1}, r_{2},...,r_{k}>0[/tex] hay không có số nguyên nào trong [tex]k[/tex] số nguyên liên tiếp chia hết cho [tex]k[/tex] thì khi chia các số nguyên liên tiếp đó cho [tex]k[/tex] được tất cả [tex]k-1[/tex] số dư đôi một khác nhau, mà có tất cả [tex]k[/tex] số dư đôi một khác nhau [tex]\Rightarrow[/tex] tồn tại hai số dư [tex]r_{m};r_{n}[/tex] trong dãy thoả mãn [tex]r_{m} \equiv r_{n}(mod k);r_{m} \geq r_{n}[/tex], mà [tex]r_{m} \neq r_{n} \Rightarrow r_{m}=r_{n}+kt[/tex] ([tex]t \epsilon N*[/tex]) [tex]\Rightarrow r_{m}-r_{n}=kt\geq k.1=k>k-1=r_{k}-r_{1} \geq r_{m}-r_{n}[/tex] (vô lý) [tex]\Rightarrow[/tex] tồn tại ít nhất một số nguyên trong dãy đó chia hết cho [tex]k[/tex] (1)
Giả sử trong dãy đó có hai số chia hết cho [tex]k[/tex] hay tồn tại hai số [tex]r_{p},r_{q}[/tex] trong dãy sao cho [tex]r_{p} \equiv r_{q} \equiv 0(mod k)[/tex]; [tex]r_{p} \neq r_{q}[/tex]; [tex]r_{p} \geq r_{q} \Rightarrow r_{p}=r_{q}+kt'[/tex] ([tex]t' \epsilon N*[/tex]) [tex]\Rightarrow r_{p}-r_{q} =kt' \geq k.1=k>k-1=r_{k}-r_{1}\geq r_{p}-r_{q}[/tex] (vô lý) [tex]\Rightarrow[/tex] không thể tồn tại hai số nguyên có cùng số dư khi chia cho [tex]k[/tex] trong dãy (2)
(1), (2) [tex]\Rightarrow[/tex] đpcm

Gọi k số nguyên liên tiếp đó là : r;r+1;r+2;...;r+(k-1)
Giả sử có nhiều hơn 1 số chia hết cho k trong dãy số trên. Gọi các số đó là:
a;b..;c (a;b;...c thuộc {r;r+1;r+2;...;r+(k-1)};a khác b khác...khác c; a,b,..,c chia hết cho k)
khi đó:a-b-...-c=nk(n thuộc N*)
=>a-(b+...+c)=nk
mà hiệu lớn nhất có thể có là: r+(k-1)-r=k-1<nk
=>điều giả sử sai=>dpcm