[Toán 7]Một bài toán về số nguyên tố

[soicon_boy_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số $a,b,c(a,b,c \in N^*)$ thỏa mãn $p=b^c+a \ \ \ \ \ q=a^b+c \ \ \ \ \ \ r=c^a+b$ với p,q,r đều là số nguyên tố.Chứng minh trong ba số p,q,r có ít nhất 2 số bằng nhau

 

[minhtuyb]

SOLUTION:

Vì 3 số $a,b,c$ chỉ có thể chẵn hoặc lẻ nên theo nguyên lí đi-dép-lê, có ít nhất 2 số cùng tính chẵn lẻ. KMTTQ, giả sử $a,b$ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó ta có:
$$p=b^c+a \vdots 2\Rightarrow p=2 \text{(Do p là số nguyên tố)}$$
Vậy $p=b^c+a=2\Rightarrow a=b=1$ do $a,b,c\in \mathbb{N^*}$. Từ đây suy ra:
$$q=a^b+c=1+c\\ r=c^a+b=c+1$$
Vậy ta có ít nhất hai số bằng nhau $q=r \square$ (Nếu $c=1$ thì ta có $p=q=r$)