[Toán 7] Luỹ thừa

[comeandplay]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

chứng minh $1^3+2^3+3^3+...+n^3$ chia hết $1+2+3+..+n$
Chú ý viết tiêu đề đúng dạng [Môn + lớp] + tiêu đề
Gõ latex.

 

[weslife02]

Đúng thì nhớ thanks

$1^3+2^3+3^3+...+n^3 = (1+2+3+.....n)^2$
Mà $(1+2+3+.....n)^2$ chia hết cho $1+2+3+.....n => 1^3+2^3+3^3+...+n^3$ chia hết cho $1+2+3+.....n$

Chú ý Gõ latex nhé bạn!

 

[iceghost]

Chứng minh $1^3+2^3+3^3+...+n^3$ chia hết $1+2+3+..+n$

Không biết đúng không nhé

Ta có : $1+2+3+...+n$
$= (n+1)+(n-1+2)+(n-2+3)+...$
$= (n+1)+(n+1)+(n+1)+.....$
$= n(n+1)$

Lại có : $1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + n^3$
$=(n^3+ 1^3)+[(n-1)^3+2^3] + [(n-2)^3+3^3] + ... $
$=(n+1)(n^2-n+1)+ (n-1+2)[(n-1)^2 - 2(n-1) + 2^2]+(n-2+3)[(n-2)^2 - 3(n-2) + 3^2]+...$
$=(n+1)(n^2-n+1)+ (n+1)[(n-1)^2 - 2(n-1) + 2^2]+(n+1)[(n-2)^2 - 3(n-2) + 3^2]+...$ $\vdots$ n+1 (1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + n^3$
$=[(n-1)^3+1^3] + [(n-2)^3 + 2^3] + [(n-3)^3 + 3^3] + ... + n^3$
$=(n-1+1)[(n-1)^2-(n-1) + 1] + (n-2+2)[(n-2)^2-2(n-2) + 2^2] + (n-3+3)[(n-3)^2-3(n-3) + 3^2] + ... + n^3$
$=n[(n-1)^2-(n-1) + 1] + n[(n-2)^2-2(n-2) + 2^2] + n[(n-3)^2-3(n-3) + 3^2] + ... + n^3$ $\vdots$ n (2)

Do (n+1,n) = 1 nên theo (1), (2) \Rightarrow $1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + n^3$ $\vdots$ n(n+1)
\Rightarrow $1^3 + 2^3 + 3^3 + ..... + n^3$ $\vdots$ $1+2+3+...+n$
sai ngay từ bước đầu. 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

 

[duc_2605]

Cái quan trọng là chứng minh $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1+2+...+n)^2$ thì bạn lại không làm.
Ta sẽ dùng cách quy nạp.
Giả sử đẳng thức đúng với n = k, ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1
$(1+2+... + k + (k + 1))^2 = \dfrac{((k+2)(k+1))^2}{4} = \dfrac{(k(k+1))^2}{4} + (k+1)^2 + k(k+1) = (1 + 2 + ... + k)^2 + (k+1)^3 = 1^3 + 2^3 + ... + (k+1)^3$
Vậy ta có đpcm.