Toán 7 HSG

E

elsasnowqueen08

R

riverflowsinyou1

Giải

Cho 2^n +1 là số nguyên tố (n>2). Chứng minh : 2^n -1 là hợp số
Rõ ràng 2^n+1 là một số lẻ
Xét 2^n+1 không thể xảy ra khi n=3.k và có thể xảy ra khi n=4.k
Xét n=4.k
Thì 2^n+1 tận cùng là 7
\Rightarrow 2^n+1-2 có tận cùng là 6 chia hết cho 2
Xét n=5.k thì không thể xảy ra sở dĩ như vậy đó là do
2^(5.k)+1 tận cùng là hợp số
Xét n=2.k và 3.k không chia hết cho 2.k
Thì 2^(2.k)+1=4^k+1
Thì ta chia làm 2 trường hợp TH1: Tận cùng là 4 thì \Rightarrow vô lí xét tận cùng là 6 thì 2^n-1 là hợp số
Như vậy ta đã xét n=3.k;n=4.k;n=5.k;n=2.k \Rightarrow đpcm
(Bị chú: Bạn cần chứng minh rõ hơn các trường hợp đó mình chỉ hướng dẫn )
 
R

riverflowsinyou1

!

Ta có: (2^n +1)(2^n -1) = 2^(2n) -1 = 4^n -1
Vì n>2 nên n#0, do đó 4^n -1 = (4-1)(4^(n-1) +4^(n-2) +...+ 4^2 +4 +1) = 3.A : 3 (hằng đẳng thức)
Do đó, (2^n +1)(2^n -1) chia hết 3. Mà 2^n +1 nguyên tố nên 2^n -1 chia hết cho 3
Vậy: 2^n -1 là hợp số (chia hết cho 3) (đpcm)
 
T

thaolovely1412

Bài 2
Ta có: [TEX]a^3+3a^2+5=5^b[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2(a+3)+5=5^b[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2.5^c+5=5^b[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2.5^{c-1}+1=5^{b-1}[/TEX]
\Rightarrowb-1=0 hoặc c-1=0
nếu b-1=0 thì thay vào không thỏa mãn
Nếu c-1=0 thì c=1 \Rightarrowa=2 và b=2
 
N

namcaok

Bài 1 làm như thế này sẽ dễ hiểu hơn bạn nè
Ta có: 2^n + 1 \geq 3 nên sẽ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
giả sử 2^n+1 = 3k+1 \Rightarrow 2^n = 3k (vô lý vì 3k không viết dưới dạng 2^n)
vậy 2^n+1 = 3k+2 \Rightarrow 2^n-1 = 3k chia hết cho 3
Vậy 2^n -1 là hợp số
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom