[Toán 7]Hình học

[ampm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC có [TEX]\widehat{A}=90^o[/TEX], [TEX]\widehat{B}=60^o[/TEX], đường cao AH, trên HC lấy D sao choHD=HB.
a) từ C kẻ CF vuông góc vs AD. CM: AH=HF=FC
b) CM: [TEX]\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}[/TEX]


Chú ý latex

 

[hiensau99]

a, + $ \triangle ABD $ có AH là đường cao đồng thời là trung tuyến nên $\triangle ABD$ cân ở A
$\Longrightarrow \widehat{B_1}= \widehat{D_1} = 60^o$
$\Longrightarrow \triangle ABD $ đều $\Longrightarrow AB=BD=AD$ (1)

+ $\widehat{D_1} $ là dóc ngoài tại đỉnh D của $ \triangle ADC$ nên $\widehat{D_1} =\widehat{A_1} +\widehat{C_1} $. Hay:
$60^o= \widehat{A_1}+30^o \Longrightarrow \widehat{A_1}=30^o=\widehat{C_1}$
$\Longrightarrow \triangle ADC$ cân ở D $\Longrightarrow DA=DC$ (2)

+Từ (1) và (2) $\Longrightarrow AB=DB=DC=\frac{BC}{2}=AD$
$\Longrightarrow $ ta có tính chất: Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc $30^o$ bằng 1 nửa cạnh huyền

+ Xét $\triangle AHD$ và $ \triangle CFD $ có
$\widehat{H_2} =\widehat{F_1} = 90^o$
$\widehat{D_1}=\widehat{D_2}=60^o $ (đối đỉnh)
$AD=DC$ (CM trên)\
$\Longrightarrow \triangle AHD= \triangle CFD$ (ch-gn)
$ \Longrightarrow AH=CF$ (2 cạnh tương ứng) (*); và $HD=DF$ (2 cạnh tương ứng)
$\Longrightarrow \triangle DHF$ cân ở D $\Longrightarrow \widehat{F_2}=\widehat{H_3}$

+ $\triangle DCF $ cuông ở F có $\widehat{C_2}+\widehat{D_2}=90^o$. Nên $\widehat{C_2}+60^o=90^o \Longrightarrow \widehat{C_2}=30^o$

+ $\widehat{D_2}$ là góc ngoài tại đỉnh D của $\triangle HDF$ nên $\widehat{D_2}=\widehat{H_3}+\widehat{F_2}$.
Hay $60^o=2. \widehat{H_3} \Longrightarrow \widehat{H_3}=30^o=\widehat{C_2}$
$\Longrightarrow \triangle FHC $ cân ở F
$\Longrightarrow FH=FC$ (*)(*)

+ từ (*) và (*)(*) ta có $ AH=HF=FC$ (đpcm)

b, + $\triangle ABC$ vuông ở A có $AB^2+AC^2=BC^2$ (theo định lí Pytago)
$\Longrightarrow AH^2.(AB^2+AC^2)=AH^2.BC^2$ (~:>)

+ $\triangle AFC$ vuông ở F có $\widehat{A_1}=30^o$ nên $FC= \frac{AC}{2}$

+ Theo phần a CM ta có $AB= \frac{BC}{2}$ nên $AB^2.AC^2=(\frac{BC}{2})^2.AC^2= BC^2. (\frac{1}{2})^2. AC^2= BC^2.(\frac{AC}{2})^2= BC^2.FC^2$
Mà theo phần a ta có FC=AH nên
$AB^2.AC^2=AH^2.BC^2$ (~:>)(~:>)

+ Từ (~:&gt(~:&gt và (~:&gt ta có $AB^2.AC^2= AH^2.(AB^2+AC^2) $

$\Longrightarrow \frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}= \frac{1}{AH^2}$

$\Longrightarrow \frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}= \frac{1}{AH^2}$ (đpcm)