[Toán 7] Hai bài toán về so sánh và tìm chữ số tận cùng?

[hoahuongduong633]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) So sánh:
[TEX]\mathit{2^{30}+3^{30}+4^{40}}[/TEX] và [TEX]\mathit{3.24^{10}}[/TEX]
b) Tìm chữ số tận cùng: (một chữ số)
[TEX]\mathit{14^{11}+15^{11}+16^{11}+17^{11}}[/TEX]

Hai bài này em nghĩ mãi mà không biết cách làm, mong được giúp đỡ nha!

 

[harrypham]

b) Ta có [TEX]14^2 \equiv 6 \pmod{10} \Rightarrow (14^2)^5 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{10} \Rightarrow 14^{11} \equiv 4 \pmod{10}[/TEX].
[TEX]15 \equiv 5 \pmod{10} \Rightarrow 15^{11} \equiv 5 \pmod{10}[/TEX]
[TEX]16 \equiv 6 \pmod{10} \Rightarrow 16^{11} \equiv 6 \pmod{10}[/TEX]
[TEX]17^4 \equiv 1 \pmod{10} \Rightarrow (17^4)^2 \cdot 17^3 \equiv 17^3 \equiv 3 \pmod{10} \Rightarrow 17^{11} \equiv 3 \pmod{11}[/TEX]

Như vậy [TEX]14^{11}+15^{11}+16^{11}+17^{11} \equiv 4+5+6+3 \equiv \fbox{8} \pmod{10}[/TEX].

Vậy chữ số tận cùng của [TEX]14^{11}+15^{11}+16^{11}+17^{11}[/TEX] là [TEX]8[/TEX].

a) Ta có [TEX]3 \cdot 24^{10}=3^{11} \cdot 2^{30}[/TEX].
Và [TEX]2^{30}+3^{30}+4^{40}=2^{30}+3^{30}+2^{80}=2^{30} \cdot (1+2^{50})+3^{30}[/TEX].
Ta lại có [TEX]2^{50}>2^{44}=16^{11}>3^{11} \Rightarrow 1+2^{50}>3^{11} \Rightarrow 2^{30} \cdot (1+2^{50})>2^{30} \cdot 3^{11}[/TEX].
Suy ra [TEX]3 \cdot 24^{10}<2^{30}+3^{30}+4^{40}[/TEX]

 

[0973573959thuy]

Phần b làm như anh Toàn là đúng rồi nhưng phép đồng dư là kiến thức mở, có một số bạn sẽ ko hiểu nên em làm lại phần b như thế này :

$A = 14^{11} + 15^{11} + 16^{11} + 17^{11} = 14^{4.2}.14^{3} + (...5) + (...6) + 17^{2.4}. 17^3 = (...6).(...4) + (...1) + (...1).(...3) = (...4) + (...1) + (...3) = (...8)$
Vậy tổng trên có chữ số tận cùng là 8.

Các bài tập dạng này bạn nên ghi nhớ các công thức áp dụng sau để giải :
- Các số có tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa với bất kì số mũ là bao nhiêu thì ta kết quả tìm được cũng sẽ có tận cùng là 0,1,5,6
- Các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa với số mũ 4n thì kết quả tìm dc sẽ có chữ số tận cùng là 6
- Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa với số mũ 4n thì kết quả tìm dc sẽ có chữ số tận cùng là 1.

Chúc bạn học tốt! ^^​

 

[0973573959thuy]

b) Ta có [TEX]14^2 \equiv 6 \pmod{10} \Rightarrow (14^2)^5 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{10} \Rightarrow 14^{11} \equiv 4 \pmod{10}[/TEX].
[TEX]15 \equiv 5 \pmod{10} \Rightarrow 15^{11} \equiv 5 \pmod{10}[/TEX]
[TEX]16 \equiv 6 \pmod{10} \Rightarrow 16^{11} \equiv 6 \pmod{10}[/TEX]
[TEX]17^4 \equiv 1 \pmod{10} \Rightarrow (17^4)^2 \cdot 17^3 \equiv 17^3 \equiv 3 \pmod{10} \Rightarrow 17^{11} \equiv 3 \pmod{11}[/TEX]

Như vậy [TEX]14^{11}+15^{11}+16^{11}+17^{11} \equiv 4+5+6+3 \equiv \fbox{8} \pmod{10}[/TEX].

Vậy chữ số tận cùng của [TEX]14^{11}+15^{11}+16^{11}+17^{11}[/TEX] là [TEX]8[/TEX].

a) Ta có [TEX]3 \cdot 24^{10}=3^{11} \cdot 2^{30}[/TEX].
Và [TEX]2^{30}+3^{30}+4^{40}=2^{30}+3^{30}+2^{80}=2^{30} \cdot (1+2^{50})+3^{30}[/TEX].
Ta lại có [TEX]2^{50}>2^{44}=16^{11}>3^{11} \Rightarrow 1+2^{50}>3^{11} \Rightarrow 2^{30} \cdot (1+2^{50})>2^{30} \cdot 3^{11}[/TEX].
Suy ra [TEX]3 \cdot 24^{10}<2^{30}+3^{30}+4^{40}[/TEX]

Phần a anh Toàn làm nhầm rồi
Ta có : [TEX]2^{30}+3^{30}+4^{40}=2^{30} \cdot (1+2^{50})+3^{30}[/TEX] chứ đâu phải [TEX]2^{30}+3^{30}+4^{40}=2^{30} \cdot (1+2^{50})[/TEX] đâu mà từ
[TEX]2^{30} \cdot (1+2^{50})>2^{30} \cdot 3^{11}[/TEX].
Suy ra [TEX]3 \cdot 24^{10}<2^{30}+3^{30}+4^{40}[/TEX]

 

[thinhrost1]

Phần b làm như anh Toàn là đúng rồi nhưng phép đồng dư là kiến thức mở, có một số bạn sẽ ko hiểu nên em làm lại phần b như thế này :

$A = 14^{11} + 15^{11} + 16^{11} + 17^{11} = 14^{4.2}.14^{3} + (...5) + (...6) + 17^{2.4}. 17^3 = (...6).(...4) + (...1) + (...1).(...3) = (...4) + (...1) + (...3) = (...8)$
Vậy tổng trên có chữ số tận cùng là 8.

Các bài tập dạng này bạn nên ghi nhớ các công thức áp dụng sau để giải :
- Các số có tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa với bất kì số mũ là bao nhiêu thì ta kết quả tìm được cũng sẽ có tận cùng là 0,1,5,6
- Các số có chữ số tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa với số mũ 4n thì kết quả tìm dc sẽ có chữ số tận cùng là 6
- Các số có chữ số tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa với số mũ 4n thì kết quả tìm dc sẽ có chữ số tận cùng là 1.

Chúc bạn học tốt! ^^​

Câu b bạn cũng có thể làm như sau:
[TEX]14^1=14[/TEX]
[TEX]14^2=196[/TEX]
[TEX]14^3=2744[/TEX]
[TEX]14^4=38416[/TEX]
[TEX]14^5=537624[/TEX]
....
Vì thế cứ số mũ chẵn tận cùng là 6, số mũ lẻ tận cùng là 4
Vì vậy: [TEX]14^{11}[/TEX] có chữ số tận cùng là 4
Ta có:
[TEX]15^11[/TEX] do những hệ số tận cùng là 5 thì lũy thừa bao nhiêu cũng là 5 nên có chữ số tận cùng là 5
Tiếp tục:
[TEX]17^1=17[/TEX]
[TEX]17^2=289[/TEX]
[TEX]17^3=4913[/TEX]
[TEX]17^4=83521[/TEX]
[TEX]17^5=1419857[/TEX]
.....
Như thế cứ số mũ chia hết cho 4 thì kết quả có chữ số tận cùng là 1
[TEX]17^{12}[/TEX] có chữ số tận cùng là 1
Nên[TEX] 17^{11}[/TEX] trước [TEX]17^{12}[/TEX] một số nên có chữ số tận cùng là 3
vậy tổng các chữ số tận cùng của chúng là:
[TEX]3+5+4=12[/TEX]. Vậy tận cùng là 2
Ủa sao đáp số khác mọi người vậy