[ Toán 7] Giới thiệu

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Bất đẳng thức Cauchy
Cho a;b>0. Khi đó a+b\geq 2.$\sqrt[2]{a.b}$
$\frac{1}{a}$+a
Tổng quát . Cho $a_1$;$a_2$;........;$a_n$>0.Khi đó
$a_1$+$a_2$+.........+$a_n$ \Rightarrow n.$\sqrt[n]{a_1.a_2.......a_n}$
Bổ sung: Cho x;y>0.
\Rightarrow $\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$\geq$\frac{4}{x+y}$
Cho x;y;z>0. Khi đó:
$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$ \geq $\frac{9}{x+y+z}$
$\frac{1}{x.y.z}$ \geq $\frac{4}{(x+y+z)^3}$
2) Bất đẳng thức AM-GM
Tổng quát . Cho $a_1$;$a_2$;........;$a_n$>0.Khi đó
$a_1$+$a_2$+.........+$a_n$\Rightarrow n.$\sqrt[n]{a_1.a_2.......a_n}$
($a_1$+$a_2$+......+$a_n$).($\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+...+$\frac{1}{a_n}$)\geq$n^2$
3) Bài tập ứng dụng
a) C/m a+$\frac{1}{a}$\geq2 (a>0)
b) a+b\geq2.$\sqrt[2]{a.b}$ (a;b>0)
c) (x+y+z).($\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$)\geq9 (x;y;z>0)
d) ($a^2$+$b^2$).($b^2$+$c^2$).($c^2$+$a^2$)\geq8.$(a.b.c)^2$
Good luck.

 

[nhuquynhdat]

ủng hộ em nhá

a) $a+\dfrac{1}{a}$ \geq $2\sqrt{a.\dfrac{1}{a}}=2$

$\to a+\dfrac{1}{a}$ \geq $2$

b) $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 $ \geq$0$

$\leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b $\geq $0 \to a+b $\geq $2\sqrt{ab}$

c) $(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) $\geq$(x+y+z)\dfrac{9}{x+y+z}=9$

$\to đpcm$

d) $a^2+b^2 $ \geq $2\sqrt{a^2b^2}=2ab$

$a^2+c^2 $ \geq $2\sqrt{a^2c^2}=2ac$

$c^2+b^2 $ \geq $2\sqrt{c^2b^2}=2cb$

Nhân theo vế ta được

$(a^2+b^2)(a^2+c^2)(c^2+b^2)$ \geq $8(abc)^2$

 

[riverflowsinyou1]

......

Bài tiếp theo
1) C/m $\frac{a^3+b^3}{2}$\geq$\frac{(a+b)^3}{8}$ (a;b>0) . Sau đó phát biểu tổng quát của bài toán
2) C/m $a^2$+$b^2$+$c^2$\geqa.b+b.c+a.c với mọi a;b;c
3) C/m $a^3$+$b^3$+$c^3$\geq$a^2$.b+$b^2$.c+$c^2$.a (a;b;c\geq0)

 

[nhuquynhdat]

chém phần dễ trước

$a^2+b^2 $ \geq $2\sqrt{a^2b^2}=2ab$

$a^2+c^2 $ \geq $2\sqrt{a^2c^2}=2ac$

$c^2+b^2 $ \geq $2\sqrt{c^2b^2}=2cb$

Cộng theo vế ta được:

$2(a^2+b^2+c^2) $ \geq $2(ab+ac+bc)$

$\to a^2+b^2+c^2$ \geq $ab+ac+bc$

 

[riverflowsinyou1]

Công bố câu 1
So sánh 4 và $\frac{a^2+2.a.b+b^{2}}{a^2-a.b+b^2}$
Hay $4.a^{2}$-$4.a.b$+$b^{2}.4$ và $a^2$+a.b.2+$b^{2}$
Xét hiệu A=VP-VT=$3.a^2$-6.a.b+$b^{2}.3$=$3$.$(a-b)^2$\geq0
Suy ra $\frac{8}{2}$\geq $\frac{(a+b)^{3}}{a^3-b^3}$
\Rightarrow Điều phải chứng minh.