[Toán 7] Đề thi học sinh giỏi trường Nguyễn Chí Diễu năm 2013-2014

[riverflowsinyou1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mới thi xong về
1) a) Tìm $x$ biết rằng $/x-\frac{1}{3}/+\frac{4}{5}=2,8$
b) Cho các đa thức $P(x)=a.x^2+bx+c$
$Q(x)=cx^2+bx+a$
C/m nếu $P(x_0)=0$ thì $Q(\frac{1}{x_0})=0$ $x_0$ # $0$
2) Số $A$ được chia thành 3 số tỉ lệ theo $0,4$,$0,75$,$\frac{1}{6}$. Biết tổng các bình phương của 3 số đó bằng 10804. Tìm $A$
3)a) Cho $A=75(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)+25$. C/m $A$ chia hết cho $100$
b) Tìm các hệ số $a,b$ của đa thức :
$R(x)=5x^4-ax^5+3x^2-2b+3x^5+1$
biết $R(x)$ bậc 5 có hệ số cao nhất bằng 7, hệ số tự do là $-1,5$
4) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC>AB$. Trên cạnh $BC$ lấy $D$, trên tia dối của tia $BC$ lấy $E$ sao cho $CD=BE$. Từ $D,E$ vẽ các đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt các đường thẳng $AC,AB$ lần lượt tại $K,F$. Gọi $I$ là trung điểm của $KF$
Chứng minh:
a) $\widehat{A}>60^o$
b) $DK=EF$
c) $B,I,C$ thẳng hàng
d) Đường thẳng d vuông góc $KF$ tại I luôn đi qua 1 điểm cố định.

 

[nhuquynhdat]

Bài 2

Gọi 3 số đó là x, y, z

Ta có: $\dfrac{x}{0,4}=\dfrac{y}{0,75}=\dfrac{z}{\dfrac{1}{6}}$

$\to \dfrac{x^2}{\dfrac{4}{25}}=\dfrac{y^2}{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{z^2}{\dfrac{1}{36}}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\dfrac{4}{25}+\dfrac{9}{16}+\dfrac{1}{36}}=\dfrac{10804}{\dfrac{2701}{3600}}=14400$

Sau đó tính ra x, y,z và tìm được A

Bài 3

a) $A=75(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)+25$

$=25(4^{2014}.3+4^{2013}.3+...+4.3+3+1)$

$=25.4( 4^{2013}.3+4^{2012}.3+...+3+1) $

$=100( 4^{2013}.3+4^{2012}.3+...+3+1)$ chia hết cho 100

 

[thangvegeta1604]

3) b. $R(x)=5x^4−ax^5+3x^2−2b+3x^5+1$
=$(3-a)x^5+5x^4+3x^2-2b+1$.
Theo đề bài, hệ số cao nhất là 7, hệ số tự do là -1,5.
\Rightarrow 3-a=7 và -2b+1=-1,5.
\Rightarrow a=-4 và b=1,25.

 

[deadguy]

1/
/ x-$\frac{1}{3}$ / + $\frac{4}{5}$ = 2,8 = $\frac{14}{5}$
\Rightarrow / x-$\frac{1}{3}$ / = 2 ( Chuyển vế đổi dấu )
\Rightarrow x= $\frac{7}{3}$ hoặc $\frac{-5}{3}$

 

[kenhaui]

Bài $1a$
TH1 :$x$ \geq $\frac13$
\Leftrightarrow $x$- $\frac13$ +$\frac45$ =$ \frac{14}{5}$
\Leftrightarrow$x$- $\frac13$= $2$
\Leftrightarrow $x$= $\fra3$( thỏa mãn )
TH2 :$x<\frac13$
\Leftrightarrow $\frac13$ -$x$ +$\frac45$ = $\frac{14}{5}$
\Leftrightarrow $\frac13 -x$= $2$
\Leftrightarrow$x$ = $\frac {-5}{3}$ ( Thỏa mãn )

 

[riverflowsinyou1]

1) a) $|x-\frac{1}{3}|+\frac{4}{5}=2,8$
Vậy nên $|x-\frac{1}{3}|=2$
TH1: $x-\frac{1}{3}=2$ nên $x=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
TH2: $x-\frac{1}{3}=-2$ nên $x=-2+\frac{1}{3}=\frac{-5}{3}$
Vậy $x \in$ {$\frac{7}{3},\frac{-5}{3}$}
b) Ta có $P(x)=ax^2+bx+c$
$P(x_0)=ax_0^2+bx_0+c=0$
Vì $x_0$ # 0 nên $\frac{ax_0^2+bx_0+c}{x_0^2}=a+\frac{b}{x_0}+\frac{c}{x_0^2}=0$
Mà $Q(\frac{1}{x_0})=a+\frac{b}{x_0}+\frac{c}{x_0^2}=0$
Vậy bài toán đã được chứng minh.
2) Theo đề bài ta có :
$\frac{a}{0,4}=\frac{b}{0,75}=\frac{c}{\frac{1}{6}}$ do đó $a,b,c$ cùng dấu nên ta có
$\frac{a^2}{\frac{4}{25}}=\frac{b^2}{\frac{9}{16}}=\frac{c^2}{\frac{1}{36}}$
Mà $a^2+b^2+c^2=10804$
Nên từ đó suy ra $a=48$ hay $a=-48$
$b=90$ hay $b=-90$
$c=20$ hay $c=-20$
Mà $a,b,c$ cùng dấu nên ta có nếu $a=48$ \Rightarrow $b=90,c=20$ \Rightarrow $A=48+90+20=158$
Nếu $a=-48$ \Rightarrow $b=-90,c=-20$ \Rightarrow $A=-158$
3) a) Ta có $A=75.(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)+25$
$A=25.3.(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)+25$
Đặt $B=3.(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)$
$B=(4-1)(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)$
$B=4(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)-(4^{2014}+4^{2013}+...+4+1)$
$B=4^{2015}+4^{2014}+...+4^2+4-4^{2014}-4^{2013}-...-4-1$
$B=4^{2015}-1$
Nên thế vào : $A=25.B+1=25.(B+1)=25.(4^{2015}-1+1)=25.4^{2015}=25.4.4^{2014}=100.4^{2014}$ chia hết cho 100
b) Ta có $R(x)=(3-a)x^5+5x^4+3x^2+(1-2b)$
Vì R(x) bậc 5 có hệ số cao nhất bằng 7 \Rightarrow 3-a=7 \Leftrightarrow a=-4
R(x) hệ số tự do là −1,5 \Rightarrow 1-2b=-1,5 \Rightarrow b=1,25
4) a) Giả sử $\widehat{A}<60^o$
Nên $180^o-\widehat{A}>180^o-60^o=120^o$
Nên $\frac{180^o-\widehat{A}}{2}>60^o$
Ta có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o$
$\widehat{A}+2.\widehat{B}=\widehat{A}+2.\widehat{C}=180^o$
\Rightarrow $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}$
Thế vào ta có $\widehat{B}=\widehat{C}>60^o$
Tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}>60^o>\widehat{A}$
\Rightarrow $AB=AC>BC$ mâu thuẫn với giả thiết.
Nếu $\widehat{A}=60^o$ nên tam giác ABC đều nên $AB=BC=AC$ nên cũng mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy $\hat{A}>60^o$
b) Ta có $\hat{ABC}=\hat{EBF}$ (2 góc đối đỉnh)
Mà $\hat{ABC}=\hat{ACB}$ ( tam giác $ABC$ cân tại $A$)
\Rightarrow $\hat{EBF}=\hat{ACB}$
Xét $\triangle{EFB}$ và $\triangle{DKC}$
$\hat{EBF}=\hat{KCD}$ (cmt)
$CD=BE$ (gt)
$\hat{BEF}=\hat{KDC}=90^o$
\Rightarrow $\triangle{EFB}=\triangle{DKC}$ (g-c-g) \Rightarrow $DK=EF$
c) Kẻ KQ // AF (Q $\in$ BC) \Rightarrow $\hat{KQB}=\hat{FBQ}$ \Rightarrow $\hat{EBF}=\hat{KQC}=\hat{KCQ}$ \Rightarrow tam giác KQC cân tại K \Rightarrow KQ=KC=BF
Xét tam giác IKQ và tam giác IFB :
KQ=FB (cmt)
IK=IF (gt)
$\hat{IKQ}=\hat{IFB}$
\Rightarrow $\triangle{IKQ}=\triangle{IFB}$ (c-g-c) \Rightarrow $\hat{BIF}+\hat{BIK}=\hat{KIQ}+\hat{BIK}=180^o$ \Rightarrow $I \in BC$
d) Ta có gọi giao điểm của đường thẳng d vuông góc KF tại I là $L$ có $LI \perp FK$ , $IK=IF$ \Rightarrow $IL$ là trung trực của $KF$ \Rightarrow đường thẳng d vuông góc KF tại I luôn đi qua 1 điểm cố định.