Toán 7 / Chuyên đề số chính phương

[angleofdarkness]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Tìm x, y, z thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex] để [tex] x^2 [/tex] + [tex] y^2 [/tex] + [tex] z^2 [/tex] + 2xy + 2x(z-1) + 2y(z+1) là số chính phương.

Câu 2: Tìm x thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex] để [tex] x^4 [/tex] - [tex] x^2 [/tex] + 2x + 2 là số chính phương.

Câu 3: Chứng minh rằng có vô số số x thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex]để (1 + 2 + ... + x)( [tex] 1^2 [/tex] + [tex] 2^2 [/tex] + ... + [tex] x^2 [/tex]) là số chính phương.

Câu 4: Có \exists hay không x, y thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex] để [tex] x^2 [/tex] + y và [tex] y^2 [/tex] + x đều là các số chính phương.

Câu 5: Tìm số tự nhiên [tex] \overline{abcd}[/tex] sao cho [tex] \overline{abcd}[/tex] [tex]\vdots[/tex] [tex] \overline{ab}[/tex] . [tex] \overline{cd}[/tex]

 

[harrypham]

Câu 2: Tìm x thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex] để [tex] x^4 [/tex] - [tex] x^2 [/tex] + 2x + 2 là số chính phương.

Phân tích [TEX]x^4-x^2+2x+2=y^2 \Leftrightarrow (x^2-1)^2+(x+1)^2=y^2 \Leftrightarrow (x+1)^2 \left[ (x-1)^2+1 \right] =y^2[/TEX].
Xét các trường hợp x+1 = 0 và x+1 khác 0 ta tìm được x,y.

 

[harrypham]

Câu 3: Chứng minh rằng có vô số số x thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex]để (1 + 2 + ... + x)( [tex] 1^2 [/tex] + [tex] 2^2 [/tex] + ... + [tex] x^2 [/tex]) là số chính phương.

Ap dụng công thức [TEX]1+2+...+x= \frac{x(x+1)}{2}[/TEX] và [TEX]1^2+2^2+...+x^2= \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}[/TEX].
Ta có [TEX]\frac{x(x+1)}{2}. \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}=y^2 \Leftrightarrow \frac{x^2(x+1)^2}{4}. \frac{2x+1}{3}=y^2[/TEX].
Ta phải có [TEX]\frac{2x+1}{3}=(2n+1)^2[/TEX].
Khi đó n có dạng [TEX]6n^2+6n+1[/TEX] nên có vô hạn số x thỏa mãn bài ra.

 

[braga]

Câu 5: Theo đề bài ta có:

[TEX]\overline{abcd} \ \vdots \ \overline{ab}.\overline{cd}\ (1) \\ \Rightarrow 100.\overline{ab}+\overline{cd} \ \vdots \ \overline{ab}.\overline{cd} \ (2) \\ \Rightarrow \overline{cd} \ \vdots \ \overline{ab}[/TEX]

Đặt [TEX]\overline{cd}=\overline{ab}.k[/TEX] với [TEX]k \in N \ ; \ 1 \leq k \leq 9 \ (3)[/TEX]

Thay vào 2 , ta được:

[TEX]100.\overline{ab}+k.\overline{ab} \ \vdots \ k.\overline{ab}.\overline{ab}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 100+k \ \vdots \ k.\overline{ab} \ (4) \Rightarrow 100 \ \vdots \ k \ (5)[/TEX]

Từ (3) và (5) [TEX]\Rightarrow k \in \{1;2;4;5\}[/TEX]

• Với [TEX]k=1[/TEX] thì [TEX]101 \ \vdots \overline{ab}(Loai)[/TEX]

• Với k=2 thì [TEX]102 \vdots 2.\overline{ab} \Rightarrow 51\vdots \overline{ab}[/TEX] khi đó [TEX]\overline{ab}=17 \ ; \ \overline{cd}=34 [/TEX] hoặc[TEX]\overline{ab}=51 \ ; \ \overline{cd}=102(Loai) [/TEX]

• Với k=4 thì [TEX]104 \vdots 4.\overline{ab} \Rightarrow 26\vdots \overline{ab}[/TEX] khi đó [TEX]\overline{ab}=13 \ ; \ \overline{cd}=52[/TEX] hoặc [TEX]\overline{ab}=26 \ ; \ \overline{cd}=104(Loai)[/TEX]

• Với k=5 thì [TEX]105 \vdots 5.\overline{ab} \Rightarrow 21\vdots \overline{ab}[/TEX] khi đó [TEX]\overline{ab}=21 \ ; \ \overline{cd}=105(Loai)[/TEX]

Kết luận: Vậy có 2 số thoả mãn yêu cầu đề bài là [TEX]\fbox{\fbox{1734};\fbox{1352}}[/TEX]

 

[harrypham]

Câu 4: Có \exists hay không x, y thuộc [tex] \mathbb{Z}[/tex] để [tex] x^2 [/tex] + y và [tex] y^2 [/tex] + x đều là các số chính phương.

Giả sử [TEX]y \le x[/TEX]. Ta có [TEX]x^2<x^2+y \le x^2+x<(x+1)^2[/TEX]
[TEX]x^2+y[/TEX] nằm giữa hai số chính phương nên ko tồn tại x,y thỏa mãn bài toán.

 

[angleofdarkness]

Cảm ơn hai bạn harrypham và braga đã giúp mình làm 4 câu. Còn câu 1, có ai biết làm không?

 

[angleofdarkness]

Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số chia hết cho 33.

Bài 2: Cho + 2y là một số chính phương với x, y . Chứng minh rằng + y là tổng của hai số chính phương.

Bài 3: Tìm ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có bốn chữ số giống nhau.

Bài 4: Tìm số dư của phép chia của một số chính phương lẻ cho 8 (nhớ chứng minh nhé!). Áp dụng: nếu một số chẵn là tổng hai bình phương, số dư của phép chia số ấy cho 8 bằng bao nhiêu? Nếu một số lẻ là tổng của hai bình phương, số dư của phép chia của số ấy cho 8 là bao nhiêu?

Bài 5: Cho A là một số tự nhiên gồm 100 chữ số trong đó có 99 chữ số 5 và một chữ số khác 5. Chứng minh A không thể là một số chính phương.

Bài 6: Tìm một số có bốn chữ số biết số đó có sáu ước số, gấp hai lần số đó là một số chính phương và chia 7 dư 4.

Xin nhờ bạn giúp mình mấy bài trên nhé. Chân thành cảm ơn lần nữa!