[Toán 7] Chứng minh với SNT

[minhuyen2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: mọi số nguyên tố lẻ p đều không tồn tại các số nguyên dương m, n.
$\frac{1}{p}=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}$

Giúp mình nhé! thanks!
Chú ý latex nhé!
Chú ý tiêu đề = [Môn + lớp] + tiêu đề

 

[thieukhang61]

\[\begin{array}{l}
\frac{1}{p} = \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}}\\
= > \frac{1}{p} = \frac{{{n^2} + {m^2}}}{{{m^2}.{n^2}}}\\
= > {m^2}.{n^2} = p{n^2} + p{m^2}\\
= > p{n^2} + p{m^2} \vdots {n^2} = > p{m^2} \vdots {n^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\\
ma\,\,p\,\,la\,\,so\,\,nguyen\,\,to\,\,(khong\,\,la\,\,so\,\,chinh\,\,phuong) = > {m^2} \vdots {n^2}\\
tu:\,\,{m^2}.{n^2} = p{n^2} + p{m^2}\\
= > p{n^2} + p{m^2} \vdots {m^2} = > p{n^2} \vdots {m^2}\\
ma\,\,p\,\,la\,\,so\,\,nguyen\,\,to\,\,(khong\,\,la\,\,so\,\,chinh\,\,phuong) = > {n^2} \vdots {m^2}\\
{m^2} \vdots {n^2};\,\,{n^2} \vdots {m^2} = > n = m\\
= > \frac{1}{p} = \frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} = \frac{2}{{{m^2}}}\\
= > 2p = {m^2}\\
2p\,\,la\,\,so\,\,chinh\,\,phuong\,\,chia\,\,het\,\,cho\,\,2 = > 2p \vdots 4 = > p = 2\\
= > dpcm
\end{array}\]

 

[riverflowsinyou1]

@-)


[tex]\frac{1}{p}[/tex]=[tex]\frac{1}{m^{2}}[/tex]\Rightarrow p=[tex]\frac{m^{2}.n^{2}}{m^{2}+n^{2}}[/tex]
\Rightarrow p.m^2+p.n^2=m^2.n^2 \Rightarrow p.m^2-m^{2}.n^{2}-p^{2}+p^{2}+p.n^{2)=-p^{2}=-p^{2} \Leftrightarrow (m^{2}-p).(n^{2}-p)=p^2=p.p roi xét từng trường hợp là ra
\Rightarrow m^{2}.(p-n^{2})-p.(p-n^{2})
*m^{2}-p=1 \Rightarrow (m-1)(m+1)=p là số nguyên tố mà m-1<m+1 \Rightarrow m-1=1 \Rightarrow m=2 \Rightarrow p=3 mà n^{2}-p=p^{2} \Rightarrow n^{2}=12 (vô lý)
*n^{2}-p=1 tương tự cũng dẫn tới điều vô lý
*m^{2}-p=n^{2}-p=p \Rightarrow m=n \Rightarrow [tex]\frac{1}{p}[/tex]=[tex]\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}[/tex]=[tex]\frac{ 2}{m^{2}}[/tex]
\Rightarrow m^{2}=2p
Nếu p=m thì p=m=n=2 mà p là số nguyên tố lẻ \Rightarrow vô lý
Nếu p \neq m thì (p,m)=1 \Rightarrow m \vdots 2 \Rightarrow m=2k \Rightarrow m^{2}=4k^{2}=2p
\Rightarrow 2k^{2}=p \vdots 2 mà p là số nguyên tố lẻ \Rightarrow vô lý
Từ những điều trên, \Rightarrow điều phải cm @-)
Mấy bạn ơi bạn nào sửa latex với bấm hoài nó ko ra