[Toán 7]Chứng minh và tìm x.

[vinhthang1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho $\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d} (a, c \in Z; b, d \in N^*.)$ Chứng tỏ rằng :
$\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}.$
2) Cho 6 số nguyên dương a, b, c, d, m, n sao cho a< b< c< d< m< n.
Chứng tỏ rằng $\dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \dfrac{1}{2}$
3) Cho 31 số hữu tỉ sao cho bất kì 3 số nào trong chúng cũng có tổng là 1 số âm. Chứng tỏ rằng tổng của 31 số đó là âm.
4) Có tồn tại 2 số dương a và b khác nhau sao cho :$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a-b}$ hay không?

 

[huuthuyenrop2]

Bài 1:
Xét hiệu
$\dfrac{a+c}{b+d}$ - $\frac{a}{b}$ = $\dfrac{ab+bc-ab-ad}{b.(b+d)}$ = $\dfrac{bc-ad}{b.(b+d)}$ > 0 (1)
Xét hiệu

$\frac{c}{d}$ - $\dfrac{a+c}{b+d}$ = $\dfrac{bc+cd-ad-cd}{d.(b+d)}$ = $\dfrac{bc - ad}{d.(b+d)}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ đpcm

 

[sam_chuoi]

4) Có tồn tại 2 số dương a và b khác nhau sao cho :$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a-b}$ hay không?

Ta có : $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{a - b} <=> (b-a)(a-b)=ab <=> (a-b)^2+ab=0$ vô lí do a,b > 0 và a khác b. Vậy không tồn tại...

Chú ý : Gõ Latex.
Đã sửa

 

[huy14112]

bài 3:
Chắc chắn trong dãy phải có 1 số âm . Nếu không thì tổng 3 số bất kì khác là dương (trái vời đề bài)
Vậy ta bỏ số âm đó đi .
Cộng 30 số còn lại vào . Ta được 10 cặp mỗi cặp 3 số .
\Rightarrow Tổng của 30 số đó âm .
Cộng nốt số âm còn lại . \Rightarrow Tổng của 31 số đó là âm

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

Ta có

$a+c+m < b+d+n$ vì $a<b<c<d<m<n$

$\rightarrow 2(a+c+m)<a+c+m+b+d+n$

$\rightarrow \dfrac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n} < \dfrac{1}{2}$


Bài 3:

Gọi các số đó là

$a_1;a_2;...:a_{31}$

Vì tổng 3 số bất kì là số âm nên ta có:

$(a_1+a_2+a_3)+(a_2+a_3+a_4)+...+(a_{31}+a_1+a_2) <0$

$\rightarrow 3(a_1+a_2+...+a_{31})<0 \rightarrow a_1+a_2+...+a_{31}
<0 (dpcm)$