Bài tập: Cho tam giác nhọn ABC có AB>AC, đa đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM=AC. Gọi N là hình chiếu của M trên AC; K là giao điểm của MN và CE.
a) CM 2 góc KAH và MCB = nhau
b) CM: AB+CE>AC+BD
Giải
a)Kéo dài AK cắt MC tại O.Ta có AK vuông góc với MC(do K là giao điểm của 2 đường cao CE và MN trong tam giác AMC)=>AK vuông góc với MC hay AO vuông góc với MC.
Xét trong hai tam giác HEA và tam giác HFC đều vuông và trong tam giác vuông này có hai góc $\widehat{EHA}$=$\widehat{FHC}$(đđ)
=>$\widehat{EAK}$+$\widehat{KAH}$=$\widehat{HCO}$+$\widehat{MCB}$(1)
Xét tiếp trong tam giác KEA và tam giác KOC đều vuông và có hai góc nhọn $\widehat{EKA}$=$\widehat{OKC}$(đđ)
=>$\widehat{EAK}$=$\widehat{HCO}$(2)
Từ(1) và (2)=>$\widehat{KAH}$=$\widehat{MCB}$
b)Ta có Vì $\widehat{MNA}$=$\widehat{BDA}$=$90^o$ mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị =>MN//BD.
Ta có AM=AC=>Tam giác AMC cân tại A.
=>Hai đường cao xuất phát từ đấy bằng nhau hay EC=MN(theo t/c các đường trong tam giác cân)
Từ M kẻ đường thẳng MI vuông góc với BD.Dựa vào c/m MN//ID=>Dễ dàng c/m được MN=ID mà ID+IB=BD=>BD-MN=BI.
Ta có AB-AC=BM(theo hình vẽ)
Ta có Xét trong tam giác vuông MIB vuông tại I=>MB là cạnh huyền =>MB>BI(theo t/c cạnh huyền-cạnh góc vuông)(3).
=>Từ các c/m trên ta có AB+CE=AC+BM+MN(4)
AC+BD=AC+MN+BI(5)
Từ (3)->(5)=>AB+CE>AC+BD.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn