[toán 7] chứng minh đa thức không có nghiệm nguyên

[thaonguyenkmhd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đa thức [TEX]f(x)[/TEX] bậc 3 với các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu [TEX]f(0)[/TEX] ; [TEX]f(1)[/TEX] lẻ thì [TEX]f(x)[/TEX] không có nghiệm nguyên dương

-->>thanks all

 

[harrypham]

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
$$f(x)=0 \iff ax^3+bx^2+cx+d=0$$
Ta có $f(0)=d$ và $f(1)=a+b+c+d$ lẻ, nên $a+b+c$ chẵn.
Xét

• Nếu $a,b,c$ chẵn thì [TEX]ax^3+bx^2+cx[/TEX] chẵn, nên $f(x)$ lẻ, vô nghiệm (vì để f(x) có nghiệm thì $f(x)=0$ là số chẵn)
• Nếu hai trong ba số $a,b,c$ lẻ, số còn lại chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử $a,b$ lẻ, $c$ chẵn. Khi đó $ax^3+bx^2+cx$ chẵn, nên [TEX]f(x)[/TEX] lẻ, vô nghiệm.

Vậy nếu đa thức $f(x)$ bậc ba có hệ số nguyên mà $f(0),f(1)$ lẻ thì $f(x)$ vô nghiệm.