[Toán 7] cho tam giác ABC , AB<AC . BM và CN là 2 đường trung tuyến của tam giác.

[callalily]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC , AB<AC . BM và CN là 2 đường trung tuyến của tam giác.Chứng minh rằng : CN>BM
thử làm trong tối hôm nay xem nhé

 

[hothithuyduong]

cho tam giác ABC , AB<AC . BM và CN là 2 đường trung tuyến của tam giác.Chứng minh rằng : CN>BM

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

[TEX]CN^2 = \frac{AC^2 + BC^2}{2} - \frac{AB^2}{4}[/TEX]

[TEX]\rightarrow 4CN^2 = 2.(AC^2 + BC^2) - AB^2 (1)[/TEX]

[TEX]BM^2 = \frac{AB^2 + BC^2}{2} - \frac{AC^2}{4}[/TEX]

[TEX]\rightarrow 4BM^2 = 2.(AB^2 + BC^2) - AC^2 (2)[/TEX]

Lấy (1) trừ (20 ta có: [TEX]4CN^2 - 4BM^2 = 3.(AC^2 - AB^2)[/TEX]

Vì [TEX]AC > AB \rightarrow 3.(AC^2 - AB^2) > 0 \rightarrow 4CN^2 - 4BM^2 >0 \rightarrow CN > BM[/TEX]

 

[soicon_boy_9x]

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

[TEX]CN^2 = \frac{AC^2 + BC^2}{2} - \frac{AB^2}{4}[/TEX]

[TEX]\rightarrow 4CN^2 = 2.(AC^2 + BC^2) - AB^2 (1)[/TEX]

[TEX]BM^2 = \frac{AB^2 + BC^2}{2} - \frac{AC^2}{4}[/TEX]

[TEX]\rightarrow 4BM^2 = 2.(AB^2 + BC^2) - AC^2 (2)[/TEX]

Lấy (1) trừ (20 ta có: [TEX]4CN^2 - 4BM^2 = 3.(AC^2 - AB^2)[/TEX]

Vì [TEX]AC > AB \rightarrow 3.(AC^2 - AB^2) > 0 \rightarrow 4CN^2 - 4BM^2 >0 \rightarrow CN > BM[/TEX]

Mình chưa gặp công thức này bao giờ
:-??:-??:-??

 

[harrypham]

Mình chưa gặp công thức này bao giờ
:-??:-??:-??

Thì ta tập chứng minh thôi.

Xét bài toán: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến.
Chứng minh $AM^2= \left( AB^2+AC^2 \right) - \dfrac{BC^2}{2}$

Giải như sau: Kẻ $AD \perp BC$.

Ta có $AM^2=AD^2+DM^2$

• Với $AD^2=AB^2-BD^2$ thì $AM^2=AB^2-BD^2+DM^2$
• Với $AD^2=AC^2-DC^2$ thì $AM^2=AC^2-DC^2+DM^2$

Vậy $$\begin{aligned} 2.AM^2 & = (AB^2-BD^2+DM^2 ) + \left( AC^2-DC^2+DM^2 \right) \\ & = \left( AB^2+AC^2 \right) - \left( DC^2 - DM^2 \right)- \left( BD^2-DM^2 \right) \\ & = \left( AB^2+AC^2 \right) - \left( DC-DM \right) \left( DC+DM \right) - \left(BD+DM \right) \left(BD-DM \right) \\ & = \left( AB^2+AC^2 \right) - CM \left( CD+DM \right) - BM \left( BD-DM \right) \\ & = \left( AB^2+AC^2 \right) - \dfrac{BC}{2}. \left(CD+DM+BD-DM \right) \\ & = \left( AB^2+AC^2 \right)- \dfrac{BC}{2}.BC \\ & = \left( AB^2+AC^2 \right) - \dfrac{BC^2}{2} \; \; \square \end{aligned}$$

Đẳng thức lời giải của callalily sai rồi.

Lời giải đúng: Ta có: $$\begin{array}{l} 2CN^2=AC^2+BC^2- \dfrac{AB^2}{2} \\ 2BM^2=AB^2+BC^2- \dfrac{AC^2}{2} \end{array}$$ Ta so sánh $AC^2- \dfrac{AB^2}{2}$ và $AB^2- \dfrac{AC^2}{2}$.
Do $AC>AB \implies AC^2>AB^2$ và $\dfrac{AC^2}{2}> \dfrac{AB^2}{2}$.
$\implies AC^2- \dfrac{AB^2}{2} > AB^2- \dfrac{AC^2}{2}$
$\implies 2CN^2 >2BM^2 \implies CN>BM \; \; \; \; \; \square$.